Polynom

Ett polynom är ett algebraiskt uttryck som kan användas som en matematisk modell för att beskriva olika situationer. Vi har tidigare stött på polynom och i det här och följande avsnitt ska vi lära oss mer om hur man kan använda polynom när man räknar, och vilka egenskaper polynom har.

Polynom består av variabler (till exempel x, y, z) och konstanter (till exempel 3, 17, -2) som har kombinerats genom de tre räknesätten addition, subtraktion och multiplikation. De variabeltermer som ingår i ett polynom får endast ha positiva heltalsexponenter. Det innebär att följande tre uttryck alla är polynom:

$$x^2+3x-1$$

$$-3x+2$$

$$2x^4-5x^3-x+7$$

Ett algebraiskt uttryck där variabeltermerna har exponenter som inte är positiva eller som inte är heltal, är därför inte heller ett polynom.


Som exempel kan vi beskriva vad som händer om vi släpper en boll från taket på en hög byggnad

Vi beskriver bollens hastighet efter en viss tidpunkt med följande polynomfunktion:

$$v=9,81\cdot t$$

där hastigheten v (i meter per sekund) beräknas som 9,81 (tyngdaccelerationen) multiplicerat med tiden t (i sekunder, efter det att vi har släppt bollen); ju längre tid bollen har fallit, desto större hastighet kommer den att ha uppnått.

I detta exempel består polynomet i det högra ledet av en konstant (9,81) multiplicerad med en variabel (tiden t).

Med hjälp av polynomfunktionen ovan kan vi räkna ut bollens hastighet efter att 3,0 sekunder har gått efter att vi släppt bollen från taket. Det görs genom att ersätta t med 3,0:

$$v= 9,81 \cdot 3,0\approx 29 \text{ meter per sekund}$$


Polynoms gradtal

När man ska beskriva ett polynom, anger man ofta polynomets gradtal, med vilket man menar den största positiva heltalsexponenten som någon av de ingående variabeltermerna har.

I vårt exempel ovan med bollens hastighet hade vi ett förstagradspolynom eftersom variabeln i termen 9,81t har exponenten 1 (när vi skriver "t" menar vi ju i själva verket "t¹", så exponenten är lika med 1). Just detta polynom hade bara en variabelterm, men ofta har polynom fler än en term.

Vi inledde detta avsnitt med tre exempel på polynom, som vi nu kan återvända till och ange gradtalen för.

Polynomet:

$$x^2+3x-1$$

är ett andragradspolynom, eftersom den största exponenten som någon variabelterm har är 2 (termen ).

Vidare är

$$-3x+2$$

ett förstagradspolynom, då den största exponenten hos den enda variabeltermen är 1 (termen -3x).

På motsvarande sätt är polynomet

$$2x^4-5x^3-x+7$$

ett fjärdegradspolynom, eftersom vi har en variabelterm vars exponent är 4 (termen 2x).

Variabeltermer av olika grad

Samma räknelagar gäller för polynom som för "vanliga" tal. Något som dock är viktigt att komma ihåg när vi räknar med polynom är att variabeltermer av olika grad inte kan läggas ihop med varandra hur som helst. Det är med andra ord till exempel stor skillnad på variabeltermerna x² och , eftersom

$$x^{2}=x\cdot x$$

$$x^{3}=x\cdot x\cdot x$$

vilket innebär att är x gånger större än .

Har man ett polynom som består av variabeltermer av olika gradtal, så skriver man dessa termer var för sig, ordnade efter termernas gradtal.


I följande exempel ser vi hur man kan ordna variabeltermer av olika gradtal

$$x^{3}+2x+3x^{3}-x=(x^{3}+3x^{3})+(2x-x)=4x^{3}+x$$

(Parenteserna som vi tog med i beräkningen ovan är egentligen överflödiga, men vi tog med dem för att göra det tydligare att det rör sig om variabeltermer av samma gradtal.)

Vi adderar och subtraherar alltså variabeltermerna med de termer som har samma gradtal. Därigenom kan vi förenkla polynom.


Multiplikation med polynom

Vid multiplikation av polynom så är det viktigt att komma ihåg regeln att alla ingående termer i den ena polynomfaktorn ska multipliceras med alla ingående termer i den andra polynomfaktorn.


Om vi tittar följande exempel på multiplikation med polynom

$$2x\cdot (4+3x)$$

så är det sätt som vi beräknar denna produkt en tillämpning av den distributiva lagen, som vi stött på i samband med vår genomgång av heltalens egenskaper.

Den distributiva lagen, tillämpad på faktorn a och de i den andra faktorn ingående termerna b och c, säger oss att följande samband gäller:

$$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$$

Jämför vi detta samband med den produkt som vi ska beräkna, så får vi i vårt exempel följande: a = 2x, b = 4, och c = 3x.

Vi ska alltså beräkna summan av 2x gånger 4 plus 2x gånger 3x. Polynomet som står utanför parentesen (2x) ska multipliceras med var och en av termerna i det polynom som står inom parentesen (4 + 3x).

Vi får därför:

$${\color{Blue} {2x}}\cdot ({\color{Red} {4+3x}})=$$

$${\color{Blue} {2x}}\cdot{\color{Red} {4}}+{\color{Blue} {2x}}\cdot {\color{Red} {3x}}=$$

$$8x+6x^{2}$$

Här kan vi också lägga märke till att det polynom som vi fick när vi räknade ut produkten av de två ursprungliga förstagradspolynomen blev ett andragradspolynom.


När man multiplicerar med polynom är det viktigt att komma ihåg att plus- och minustecknen hör ihop med den term som står direkt till höger om tecknet.

Står det ett minustecken framför en parentes, så byts tecknen inuti parentesen vid multiplikation.


Vi tittar närmre på det i följande exempel

$$3-{\color{Blue} {2x}}\cdot ({\color{Red} {4+3x}})=$$

$$3-({\color{Blue}{ 2x}}\cdot {\color{Red} 4}+{\color{Blue} {2x}}\cdot {\color{Red} {3x}})=$$

$$3-(8x+6x^{2})$$

$$3-8x-6x^{2}$$


Om man ska multiplicera ihop två parenteser, så ska varje term i den ena parentesen multipliceras med varje term i den andra parentesen. Detta ser vi nedan i fallet med två förstagradspolynom, innehållande vardera en variabelterm och en konstantterm, som ska multipliceras med varandra:

Pilar

Ett exempel på detta kan se ut har vi här nedan (dessa polynom har två variabler, x och y, men sättet man räknar på är detsamma):

$$({\color{Red} {5x}}+2y)\cdot ({\color{Green} {3x}}+{\color{Blue} {4y}})=$$

$$={\color{Red} {5x}}\cdot {\color{Green}{ 3x}}+{\color{Red} {5x}}\cdot {\color{Blue} {4y}}+2y\cdot {\color{Green} {3x}}+2y\cdot {\color{Blue} {4y}}=$$

$$=15x^{2}+20xy+6xy+8y^{2}=$$

$$=15x^{2}+26xy+8y^{2}$$

Anledningen till att alla termer i det ena polynomet måste multipliceras med alla termer i det andra polynomet kan vi se illustrerat i figuren här nedan, där vi låter de båda polynomen representera rektangelns sidor och deras produkt representera rektangelns area:

Multpolynom

Produkten vi får fram när vi multiplicerar sidorna på rektangeln är alltså densamma som rektangelns area. Den hela rektangelns area består i sin tur av summan av de mindre rektanglarnas areor (märkta med grön, rosa, blå och gul färg i figuren) och dessa delareor bildar tillsammans den totala arean (produkten av de båda polynomen).

I det här avsnittet har vi bland annat gått igenom hur vi går till väga när vi ska multiplicera två polynom. Det finns några specialfall av multiplikation med polynom som är nyttiga att känna till, specialfall som vi nu ska gå igenom i avsnitten om kvadreringsreglerna och konjugatregeln.

Videolektioner

Här går vi igenom multiplikation med binom, ett polynom av två termer.

Polynomberäkning med konjugater.

Har du en fråga du vill ställa om Polynom? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!