Enkla andragradsekvationer

I det förra avsnittet gick vi igenom hur en andragradsekvation kan skrivas på formen

$$ax^{2}+bx+c=0$$

där a, b och c är konstanter, och a ≠ 0 (eftersom ekvationen annars inte skulle ha någon andragradsterm).

I det här avsnittet ska vi titta närmare på hur vi löser enkla andragradsekvationer, det vill säga andragradsekvationer på formen

$$ax^{2}+c=0$$

vilket alltså är de fall då konstanten b = 0.

Att lösa en andragradsekvation är detsamma som att finna motsvarande andragradsfunktions nollställen, det vill säga att finns de x-värden som finns där kurvan eventuellt skär x-axeln.

Men vi behöver inte lösa andragradsekvationen grafiskt, så som vi gjorde i det förra avsnittet, genom att skissa upp grafen till andragradsfunktionen och läsa av kurvans nollställen - man kan också lösa ekvationen algebraiskt. I själva verket har vi gjort detta i Matte 1-kursen, då vi löste potensekvationer.

Algebraisk lösning av enkel andragradsekvation

När vi ska lösa en enkel andragradsekvation är målet att genom olika räkneoperationer få våra variabler att stå på den ena sidan av likhetstecknet och våra konstanter att stå på den andra sidan.

Vi tittar på ett exempel, där vi ser hur vi kan lösa följande andragradsekvation algebraiskt:

$$2x^{2}-50=0$$

Det finns olika sätt att gå till väga, men eftersom vårt första delmål är att få variabeltermerna att stå ensamma på den ena sidan och konstanttermerna på den andra, börjar vi med att addera 50 till ekvationens båda led. Vi får då

$$\\2x^2-50+{\color{Blue}{ 50}}={\color{Blue} {50}}$$

$$2x^2 = 50$$

Vi har fortfarande en koefficient (2) framför x²-termen i det vänstra ledet, så vi dividerar båda leden med 2 för att bli av med den:

$$\frac{2x^2}{{\color{Blue} 2}} = \frac{50}{{\color{Blue} 2}} $$

$$x^2 = 25$$

För att få ut vårt x-värde ur denna ekvation beräknar vi kvadratroten av båda leden. Vi får då en positiv och en negativ rot:

$$\sqrt{x^{2}}=\pm \sqrt{25}$$

$$x=\pm 5$$

Lösningarna till vår andragradsekvation blev därför

$$x_1=5$$

$$x_2=-5$$

Enkel andragradsekvation som saknar reell lösning

Om vi istället hade haft andragradsekvationen

$$x^{2}+25=0$$

och försöker lösa den på samma sätt som i exemplet ovan, så ser vi att vi får följande:

$$x^{2}+25=0$$

$$x^{2}+25-{\color{Blue} {25}}=0-{\color{Blue}{ 25}}$$

$$x^{2}=-25$$

$$\sqrt{x^{2}}=\sqrt{-25}$$

Vi ser då att vi får ett negativt tal under rottecknet. Det innebär att ekvationen inte har några reella rötter. Om vi återgår till det vi såg i avsnittet om andragradsekvationer så innebär det att kurvan till den här andragradsfunktionen aldrig skär x-axeln och därför saknar nollställen.

I avsnittet om komplexa tal kommer vi se hur vi kan hantera situationen då en andragradsekvation saknar reella lösningar, genom att använda oss av imaginära tal för att uttrycka lösningen.