Uppgift 29
Figuren visar rektangeln \(ABCD\) med en punkt \(P\) på sidan \(BC\). När sträckorna \(DP\) och \(AB\) förlängs skär de varandra i punkten \(Q\).
Bestäm \(\frac{AB}{AQ}\) om \(BP = a\) och \(PC = 3a\).
Lösningsförslag
Vi använder alternatvinklar och likbelägna vinklar för att rita ut denna bild.
Utifrån vinklarna i bilden kan vi se att trianglarna \(DPC\) och \(DAQ\) är likformiga, därför har vi förhållandet
$$\frac{AD}{CP}=\frac{AQ}{DC}=\frac{DQ}{DP}$$
Vi använder detta samband och sätter in givna \(BP = a\) och \(PC = 3a\) och att \(AD=3a+a=4a\).
$$\frac{AD}{CP}=\frac{4a}{3a}=\frac{4}{3}$$
Då gäller även detta förhållande, tack vare likformigheten
$$\frac{AQ}{DC}=\frac{4}{3}$$
och för något \(b>0\) gäller även \(\frac{AQ}{DC}=\frac{4b}{3b}\). När \(DC=3b\) är även \(AB=3b\) eftersom de är motstående sidor i rektangeln. Dessutom med \(AQ=4b\) så blir \(BQ=4b-3b=b\)
Vi har de längder vi behöver
$$\frac{AB}{AQ}=\frac{3b}{4b}=\frac{3}{4}$$
Svar: \(\frac{AB}{AQ}=\frac{3}{4}\)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2022" - Ladda ner provet här.