Uppgift 6
Lös ekvationerna och svara exakt på enklaste form.
a) \(5^x=7\)
b) \(\lg1000+97=10^x\)
c) \(3^{4x}=10^2\)
d) \((3x−4)(4−3x)= -9x^2\)
e) \((5987−x)^2 −2(5987−x)=0\)
Lösningsförslag
a) \(5^x=7\)
$$\log_{5}5^x = \log_{5}7$$
$$x = \log_{5}7$$
b) \(\lg1000+97=10^x\)
$$3+97 = 10^x$$
$$100=10^x$$
$$10^2=10^x$$
$$x=2$$
c) \(3^{4x}=10^2\) vi applicerar \(\lg\) på båda sidor och sedan logaritmlagen för exponenter
$$\lg3^{4x}= \lg10^2$$
$$4x \cdot \lg3 = 2$$
$$4x= \frac{2}{\lg3}$$
$$x=\frac{2}{4\cdot\lg3}$$
$$x= \frac{1}{2\cdot\lg3}$$
d) \((3x−4)(4−3x)= -9x^2\) vi bryter ut \(-1\) från andra parentesen
$$-1(3x-4)(3x+4)=-9x^2$$
\((3x-4)(3x-4)=9x^2\) vi använder andra kvadreringsregeln och får då:
$$9x^2-24x+16=9x^2$$
$$-24x+16=0$$
$$24x=16$$
$$x=\frac{16}{24}$$
$$x=\frac{4}{6}$$
$$x=\frac{2}{3}$$
e) \((5987−x)^2 −2(5987−x)=0\) vi bryter ut parentesen \((5987-x)\) ur båda termerna
$$(5987-x((5987-x)-2)=0$$
$$(5987-x)(5985-x)=0$$
$$x_1 = 5987 \; x_2 = 5985$$
Svar:
a) \(x = \log_{5}7\)
b) \(x=2\)
c) \(x= \frac{1}{2\cdot\lg3}\)
d) \(x=\frac{2}{3}\)
e) \(x_1 = 5987 \; x_2 = 5985\)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.