Andragradsfunktioner

Ett polynom kan vara ett nolltegradspolynom (y=a), ett förstagradspolynom (y=ax+b) eller ett andragradspolynom (y=ax2+bx+c) eller ännu högre grad. Vi ska nu studera hur ett andragradspolynom ser ut i ett koordinatsystem.

Vi ska börja med följande funktion:

$$y(x)=x^{2}$$

För att förstå hur funktioner av detta slag ser ut som graf så skapar vi först en värdetabell:

x f(x)
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9

Sedan sätter vi in varje par av värden (x, y(x)) som punkter i ett koordinatsystem och sammanbinder punkterna:

Det ser ut som att sambandet bildar en symmetrisk u-formad kurva, som skär genom origo. Detta är helt rätt. Hade vi valt att beräkna och sätta in fler punkter hade vi fått en kurva som inte hade varit så kantig. Om vi hade valt att använda riktigt många punkter så skulle kurvan se ut enligt följande figur:

Eftersom x2 i funktionsuttrycket har en positiv koefficient (i vår exempelfunktion är koefficienten 1) får kurvan ett minimivärde (här i punkten (0,0)).

Vi fortsätter med en annan funktion:

$$y(x)=-x^{2}$$

Denna funktion liknar den som vi inledde avsnittet med, men om man tittar på hur dess graf ser ut så ser man direkt en tydlig skillnad:

Om x2 i funktionsuttrycket har en negativ koefficient (i exemplet är koefficienten -1) blir kurvan en upp-och-ner-vänd version av kurvan i det förra exemplet, och får en maximipunkt (här i punkten (0,0)).

Alla andragradsfunktioner har formen av en parabel. Men parablarnas "bredder" och placeringar i koordinatsystemet skiljer dem åt.


Exempel på andragradsfunktioner

$$y(x)=3x^{2}+1$$

$$y(x)=2x^{2}+4x$$

$$y(x)=x^{2}+4x-8$$

$$y(x)=-x^{2}+x+6$$


Vi har tidigare sett att en andragradsekvation har antingen två rötter, en rot eller ingen reell rot alls. Detta blir förtydligat när vi nu även kan studera funktionerna grafiskt.

I en vanlig andragradsfunktion med två nollställen kan vi ofta tydligt se nollställena, alltså de punkter där kurvan skär x-axeln (där y=0). Det är dessa x-värden som vi räknar ut när vi löser en andragradsekvation.


Ett exempel på en sådan andragradsekvation

$$x^{2}-6x+5=0$$

Denna typ av andragradsekvation kan vi lösa med pq-formeln:

$$p=-6$$

$$q=5$$

$$x=-\frac{(-6)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{-6}{2} \right )^{2}-5}$$

$$x=3\pm \sqrt{4}=3\pm 2$$

$$x_{1}=5 \: och \: x_{2}=1$$

Motsvarande andragradsfunktion skrivs

$$y(x)=x^{2}-6x+5$$

och dess graf ser ut så här:

Om vi studerar denna graf ser vi att funktionens nollställen (alltså där y(x)=0) finns vid just de x-värden som utgjorde lösningar på andragradsekvationen.

Varje andragradsfunktion har en symmetrilinjem i detta fall är den längs x = 3. Det innebär att kurvan till vänster om symmetrilinjen är en exakt spegelbild av kurkan till höger om symmetrilinjen. Vi markerar linjen i koordinatsystemet med andragradsfunktionen. 

En andragradsfunktions symmetrilinje är alltid vertikal och parallel med y-axeln. Maxi- eller minimipunkten för andragradsfunktionen kommer alltid ligga på symmetrilinjen. Eventuella nollställena till andragradsfunktionen kommer alltid ha samma avstånd till symmetrilinjen, eftersom den ligger i mitten. Vi kan alltså hitta symmetrilinjen med hjälp av att ta medelvärdet på nollställena. I andragradsfunktionen ovan skulle det bli så här

$$\frac{1+5}{2}=3$$

Vi kan även hitta symmetrilinjen via första delen av pq-formeln, innan rottecknet, det vill säga 

$$x=\frac{-p}{2}$$


Vi kan även se om en funktion bara har ett nollställe

$$y(x)=x^{2}-2x+1$$

Denna funktions graf ser ut så här:

Kurvan ser ut att tangera x-axeln, så att bara finns en punkt på kurvan där y=0 och denna punkt ser ut att vara x=1. Detta kan vi kontrollera genom att lösa motsvarande andragradsekvation:

$$ x^{2}-2x+1 = 0$$

Vi löser andragradsekvationen med hjälp av pq-formeln:

$$x=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-2)}{2} \right )^{2}-1}$$

$$x=1\pm \sqrt{1-1}=1 \pm 0=1$$

$$x_1 = x_2 = 1$$

Eftersom den enda roten till andragradsekvationen var en dubbelrot x1=x2= 1 kan vi nu konstatera att vi hade rätt i vad vi trodde utifrån vår undersökning av andragradsfunktionens graf. Funktionens enda nollställe finns där x=1.


Slutligen ska vi se hur en andragradsekvation utan rötter ser ut grafiskt

$$x^{2}-2x+2=0$$

Försöker vi att lösa denna ekvation med pq-formeln, då blir uträkningen så här:

$$p=-2$$

$$q=2$$

$$x=-\frac{(-2)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-2)}{2} \right )^{2}-2}$$

$$x=1\pm \sqrt{1-2}=1\pm \sqrt{-1}$$

Eftersom vi kom fram till ett uttryck för x som innehåller roten ur ett negativt tal, kan vi dra slutsatsen att ekvationen inte har någon reell lösning, det finns inga reella rötter till ekvationen.

För denna andragradsfunktion som nedan,

$$y(x)=x^{2}-2x+2 $$

Så kan vi betrakta grafen till denna funktion, som vi kan se här nedan, är intressant, eftersom denna andragradsfunktion inte har några nollställen (det finns inget x-värde som kan väljas så att y(x)=0) - kurvan skär aldrig x-axeln, utan håller sig hela tiden över x-axeln.

Vi ritar en till graf här nedan för andragradsfunktionen 

$$y(x) = -x^2 +4x -5$$

Då koefficienten framför x2 är negativ (i detta fall -1) så har vi lärt oss att kurvan har ett maximum och ser ut som en ledsen mun. Vi ser att maximumpunkten ligger under x-axeln så därför har denna andragradsfunktionen inte heller några reella nollställen eftersom kurvan aldrig skär x-axeln.


Videolektioner

Här indroducerar vi andragradsfunktioner.

Här går vi igenom begreppen vertex och symmetrilinje.

Här går vi igenom nollställen och skärningar av y-axeln.

Här går vi igenom största och minsta värde för en andragradsfunktion.

En liten minnesregel för hur andragradsfunktioner ser ut.

Har du en fråga du vill ställa om Andragradsfunktioner? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se
  • Parabel: kurvan som bildas av en andragradsfunktion
  • Positiv parabel: kurvan till en andragradsekvation med positiv koefficient framför \(x^2\)-termen, ser ut som en glad mun
  • Negativ parabel: kurvan till en andragradsekvation med negativ koefficient framför \(x^2\)-termen, ser ut som en ledsen mun
  • Rötter: annat namn för lösningar till andragradsekvationer som är på formen \(ax^2+bx+c= 0. \) Andragradsekvationen kan variera en del, men den ska vara lika med noll för att lösningarna ska kallas för rötter.
  • Nollställen: motsvarande till rötter fast för grafen, det vill säga var grafen skär x-axeln
  • pq-formeln:
    $$x=  \frac{-p}{2} \pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q} $$ 
    ger oss två lösningar till ekvationen \(x^2 +px+q=0\) (om ekvationen inte ser exakt ut så här måste vi flytta om eller dela bort faktorer)
  • Maximipunkt: en punkt på grafen som utgör en vändpunkt, där grafen växer innan och avtar efter. På en parabel är detta det högsta värdet som grafen når
  • Minimipunkt: en punkt på grafen som utgör en vändpunkt, där grafen avtar innan och växer efter. På en parabel är detta det minsta värdet som grafen når