Gränsvärde

När vi gick igenom rationella funktioner kom vi fram till att funktioner, oftast betecknade f(x), har något som kallas definitionsmängd, som betyder vilka variabelvärden x, som är tillåtna för just den funktionen. 

Om vi tittar på en funktion som

$$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$$

så ser vi direkt att x inte får ha värdet noll, eftersom nämnaren (x²) då blir noll. Men vad händer med funktionens värde när vi befinner oss nära x=0? Ett bra sätt att undersöka det är genom att rita upp funktionens graf. Ett annat sätt är att skapa en tabell där vi testar vilka värden funktionen får, när vi väljer variabelvärden som ligger allt närmare det odefinierade värdet x=0

När vi testar mindre och mindre värden på x (positiva eller negativa), så märker vi att det inte finns någon övre gräns för hur stort funktionsvärdet kan bli. Vi säger då att funktionsvärdet går mot oändligheten, ∞, eftersom funktionsvärdena blir oändligt stora (det finns ingen hejd på hur stora värdena kan bli).

Vad vi har undersökt här är funktionens gränsvärde för ett visst värde på variabeln x. Ett annat sätt att uttrycka vad vi just kom fram till är att f har gränsvärdet ∞, när x går mot 0.

Det kan också skrivas så här:

$$f(x) \to \infty \text{ när } x \to 0$$

Det här uttrycket utläser man som "funktionen f av x går mot oändligheten när x går mot 0".

Ett mer kompakt sätt att skriva samma sak är så här:

$$ \lim_{x \to 0}f(x)=\infty$$

Det här utläser man som "limes av f(x) när x går mot 0 är oändligheten".

Ovan valde vi att undersöka gränsvärdet för ett variabelvärde där funktionen \(f(x)\) är odefinierad (x = 0), men vad händer om vi undersöker gränsvärdet för ett tillåtet variabelvärde, alltså ett värde som finns med i funktionens definitionsmängd?

Om vi använder samma funktion som ovan, vad blir gränsvärdet när vi väljer stora värden på x? Eller med andra ord: vad blir gränsvärdet för funktionen f då x går mot oändligheten?

Återigen hjälper det att ställa upp en värdetabell:

Vi ser här att ju större värden på variabeln vi väljer, desto närmare 0 blir funktionsvärdet.

I det här fallet kan vi skriva upp gränsvärdet på det här sättet:

$$\lim_{x \to \infty}f(x)=0$$

Det här utläser vi som "limes av f(x) när x går mot oändligheten är 0".

I exemplet ovan testade vi oss fram till vad gränsvärdet borde vara, men man kan också finna gränsvärdet genom att skriva om funktionsuttryck.

Här är ett exempel:

$$f(x)=\frac{x^{2}+3x}{2x}$$

Denna funktion är i dess nuvarande form definierad för alla x förutom x = 0 (nämnaren får ju inte vara lika med noll). Vilket gränsvärde har funktionen då x går mot 0?

Tittar vi på täljaren i uttrycket kan vi se att vi kan faktorisera täljaren genom  att vi bryter ut en faktor x och vi ser också att vi har en faktor x i nämnaren. Vi kan då förkorta uttrycket med x:

$$f(x)=\frac{x^{2}+3x}{2x}=\frac{x\cdot (x+3)}{2x}=\frac{x+3}{2}$$

Vi ser att nämnaren nu inte längre innehåller variabeln x. Därför kan vi konstatera att funktionen faktiskt är definierad för alla x ändå, när den står skriven i den här formen istället för i den ursprungliga formen!

Vi kan nu beräkna gränsvärdet exakt:

$$\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{x+3}{2}=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$$

Detta är alltså gränsvärdet då x går mot 0. Eftersom det visade sig att funktionen faktiskt var definierad för alla värden på x ändå, är det också det exakta funktionsvärdet vi får ut om vi sätter in variabelvärdet x=0 i det förenklade funktionsuttrycket.

Vi ska nu titta på en ny funktion och läsa av gränsvärden ur grafen.

Denna graf är inte definierad för alla variabelvärden, i detta fall är funktionen ej definierad för x = -4, så därför är grafen till funktionen inte sammanhängande i denna punkt. 

Om vi följer grafen från vänster \(\to -4^{-}\)så kan vi se att

$$\lim_{x \to -4^{-}}f(x) = \infty $$

Om vi följer grafen från höger \(\to -4^{+}\)så kan vi se att

$$\lim_{x \to -4^{+}}f(x) = - \infty $$

Vi får olika gränsvärden, både ∞och -∞, då vi låter x gå mot -4 från vänster och från höger. Därför säger vi att funktionen saknar ett gränsvärde i denna punkt.

Vi kan konstatera att för en funktion ska ha ett gränsvärde måste grafen vara sammanhängande i den punkten, i detta fall x = -4.

Vi kan undersöka vad som händer om vi låter x gå mot -5. Vi kan läsa ur grafen att 

$$f(-5)= 5$$

då kan vi säga att

$$\lim_{x \to -5}f(x) = 5$$ 

Detta gäller för att x = -5 är ett tillåtet variabelvärde, som finns med i funktionens definitionsmängd.

Viktigt att notera är att gränsvärdet måste få samma värde oberoende på om vi närmar oss från höger eller vänster. Om funktionen inte är sammanhängande så blir inte värdena lika. Vi kan också beskriva det så här att gränsvärdet \(\lim_{x \to a} f(x) \) existerar om 

$$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \lim_{x \to a^{-}} f(x)  $$

Där \(a^{+}\) betyder att vi närmar oss från höger och \(a^{-}\) från vänster. 

Vi beräknar gränsvärden i några exempel.

Bestäm gränsvärdet för f(x) när x går mot 1

$$\lim_{x \to 1}f(x) = \lim_{x \to 1}\frac{4x^2-4}{x-1}  $$

Om x = 1 så blir nämnaren 0, så vi behöver undersöka funktionen vidare. Vi börjar med att faktorisera täljaren. 

Vi bryter ut 4 i och använder oss av konjugatregeln och förkortar sen med (x-1), det ser ut så här

$$\frac{4(x^2-1)}{(x-1)}$$

$$\frac{4(x+1)(x-1)}{(x-1)}$$

$$4(x+1)$$

Nu kan vi bestämma gränsvärdet

$$\lim_{x \to 1}f(x) = \lim_{x \to 1}\frac{4x^2-4}{x-1} = \lim_{x \to 1} 4(x+1) = 4(1+1) = 8  $$

Gränsvärdet blir 8 för f(x) då x går mot 1. 

Bestäm gränsvärdet för f(x) när x går mot -3

$$\lim_{x \to -3}f(x) = \lim_{x \to -3}\frac{x^2+2x-3}{x+3}  $$

Även här blir nämnaren 0 när x = -3, vilket inte är tillåtet. Därför vill vi kunna dela bort faktorn (x+3) i nämnaren och undersöker därför om vi kan bryta ut den faktorn ur täljaren. Därför tittar vi om vi kan faktorisera x²+2x-3 med hjälp av pq-formeln, där p = 2 och q = -3

$$x = \frac{-2}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{-2}{2}\right)}^2-(-3)}$$

$$x = -1 \pm \sqrt{1+3}$$

$$x = -1 \pm 2$$

$$x_1 = 1$$

$$x_2 = -3$$

Detta innebär att vi kan faktorisera nämaren så här

$$x^2+2x-3 = (x+3) (x-1)$$ 

Vi kan kontrollera att faktoriseringen stämmer genom att multiplicera ihop parenteserna också.

$$(x+3)(x-1) = x^2 -x +3x -3 = x^2 +2x -3$$

Nu kan vi förkorta bort täljaren.

$$\frac{x^2+2x-3}{x+3} = \frac{(x+3)(x-1)}{x+3} = x-1$$

$$\lim_{x \to -3}\frac{x^2+2x-3}{x+3} = \lim_{x \to -3 } x-1 = -3 -1 = -4$$

Gränsvärdet för f(x) när x närmar sig -3 blir alltså -4.