Multiplikation av polynom

Polynom

Ett polynom är ett matematiskt uttryck som består av variabler och konstanter som kombineras genom räknesätten addition, subtraktion och multiplikation. De variabeltermer som ingår i ett polynom får endast ha positiva heltalsexponenter. Vi har med andra ord räknat med polynom i olika former sedan en lång tid tillbaka, ända sedan vi först blev bekanta med begreppet i tidigare kurser. Polynomets grad bestäms av den högsta exponenten i polynomet, vilket vi kan se några exempel på i den här tabellen:

Benämning
Exempel
Nolltegradspolynom \(1\)
Förstagradspolynom \(2x+1\)
Andragradspolynom \(x^{2}+2x+1\)
Tredjegradspolynom \(4x^{3}+3x^{2}+2x+1\)
Fjärdegradspolynom \(5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x+1\)

Vi har också lärt oss metoder för att lösa de vanligt förekommande polynomekvationerna av lägre grad, t.ex. med hjälp av pq-formeln för andragradsekvationer. I det förra avsnittet lärde vi oss också om andragradsfunktioner (alltså polynomfunktioner av grad två); vi tittade även på hur dessa andragradsfunktioners grafer kan se ut och hur utseendet på en sådan graf förhåller sig till lösningarna på motsvarande andragradsekvation.


Multiplikation av polynom

En ekvation är ett matematiskt uttryck som innehåller ett vänsterled (VL) och ett högerled (HL). Ekvation betyder "likhet" och beskriver att två matematiska uttryck på vardera sidan om ett likhetstecken är varandras motsvarigheter. Vänster led är samma sak som höger led, bara formulerat och beskrivet på ett annat sätt. I grundskolan räknade vi med ekvationer där de ingående komponenterna är tal.

$$VL=HL$$

$$6+4=10$$

I högstadiet lärde vi oss att räkna med ekvationer där vissa av de ingående komponenterna i uttryck är okända tal. Vi beskriver det okända talet tydligare genom att beteckna det med en bokstav, även kallad en variabel (till exempel x).

$$3x+8=14$$

I gymnasiet räknar vi med ekvationer där de ingående komponenterna är tal, variabler och funktioner. En variabel är ett okänt tal vars värde kan variera. Man kan alltså sätta in olika värden på variabeln och därmed få olika resultat.

I exempel ovan är x inte en variabel utan endast en okänd konstant. Det finns endast ett värde på x som passar in i uttrycket så att är sant, alltså att VL=HL, och i detta fall är x=2.

$$3 \cdot 2 +8=14$$

I nästa exempel nedan så är x en variabel, eftersom HL inte är definierat som ett konstant uttryck. Vilket värde HL bör ha beror på vilket värde variabeln x i VL har. Därför finns det oändligt många möjliga lösningar på ekvationen.

$$3x+8=y$$

Vi kan även se y i det föregående exemplet som en variabel. x och y är båda okända tal, som varierar beroende på varandras värden.

En ekvation som innehåller variabler kan alltid beskrivas som en funktion.

$$f(x)=3x+8$$

Vänsterledet i ovanstående uttryck, f(x), utläses "f som en funktion av x". Det man vill betona med ett funktionsuttryck av nyss nämnda slag, är att det är x som är den huvudsakliga variabeln. Det är x-värdet som vi har och kan ange, och som vi kan sätta in i uttrycket - och det är f(x), det vill säga motsvarigheten till y, som vi får ut som ett resultat av ett visst värde på x. Vi vill också betona att x inte är en okänd konstant utan att det verkligen är en variabel.

Det finns även tillfällen då vi har ett bestämt y-värde och vi vill ha redan på för vilket x det gäller.

Innan vi går vidare med ekvationer och funktioner ska vi först repetera några viktiga regler som används för att förenkla ekvationer.

Distributiva lagen:

$$a(b+c)=ab+ac$$

Parentesmultiplikation:

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

Första kvadreringsregeln:

$$(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

Andra kvadreringsregeln:

$$(a-b)(a-b)=(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$

Konjugatregeln:

$$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$$

Om du vill så kan du repetera polynommultiplikation, kvadreringsreglerna och konjugatregeln från Matte 2-kursen.

Vi ska nu räkna ett exempel där vi använder några av dessa regler för att förenkla uttrycket och lösa ekvationen. De regler vi använder oss av i det här exemplet är distributiva lagen, andra kvadreringsregeln och konjugatregeln.


Förenkla uttrycket och lös ekvationen

$$(2x-2)^{2}-(2x-1)^{2}-3(x-4)(x+4)+3x^{2}=3$$

$$(4x^{2}-2\cdot 2x\cdot 2+ 4)-(4x^{2}-2\cdot 2x\cdot 1+1^{2})$$

$$-3(x^{2}-16)+3x^{2}=3$$

$$ 4x^{2}-8x+4-4x^{2}+4x-1-3x^{2}+48+3x^{2}=3$$

$$51-4x=3$$

$$4x=48$$

$$x=\frac{48}{4}$$

$$x=12$$


Avslutningsvis räknar vi ett till exempel, där vi använder parentesmultiplikation

Utveckla följande uttryck:

$$(3x^{2}+2)\cdot(2x-1)$$

Uttrycket ovan utgörs av en produkt av två uttryck. Vi utvecklar uttrycket som helhet genom att multiplicera faktorerna med varandra med hjälp av reglerna för parentesmultiplikation:

$$(3x^{2}+2)\cdot(2x-1)=$$

$$=3x^{2}\cdot2x-3x^{2}\cdot1+2\cdot2x-2\cdot1=$$

$$= 6x^{3}-3x^{2}+4x-2$$

När man multiplicerar två polynom med varandra blir som vi ser också produkten ett polynom. 

$$ 6x^{3}-3x^{2}+4x-2$$

Polynomet vi fick är ett exempel på ett fullständigt tredjegradspolynom. Det betyder att alla heltalsexponenter finns med i polynomet (3, 2, 1 och 0) och att 3 är den högsta exponenten. Om vi tar bort en term, t ex 4x från polynomet får vi kvar 6x3-3x2-2 som ett ofullständigt polynom, men ändå ett polynom. För att ett uttryck ska vara ett polynom måste alla exponenter vara heltal och positiva. Konstanta termen i polynomet är -2. Talen 6, -3 och 4 kallas koefficienter. x varierar i värde och kallas därför variabel.

Videolektioner

Här går vi igenom multiplikation av polynom.

Här går vi igenom och härleder kvadreringsreglerna.

Här går vi igenom och härleder konjugatregeln.

En ekvationslösning med konjugatregel.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Multiplikation av polynom? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se
  • Polynom: ett algebraiskt uttryck med variabler och konstanttermer, där variablerna får endast ha exponenter som är positiva heltal. exempelvis är \(3x^2-4\) och \(-3x^7+0,8x^4-120\) polynom, medan \(x^{0,3}+4\) och \(5x^{-4}+x^2\) inte är det.
  • Koefficient: ett värde som multipliceras (multiplikativ faktor) med en eller flera värden i ett uttryck eller ekvation, exempelvis i termen \(5x^6\), så är 5an koefficienten
  • Variabel: ett värde som kan ändras, betecknas ofta \(x\) eller \(y\)
  • Konstantterm: ett värde i en ekvation som inte ändras och inte beror på en variabel
  • Binom: polynom som består av en summa av två termer
  • Kvadreringsreglerna: 
    $$ (a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2 \\ (a-b)^2 = a^2-2ab + b^2 $$
  • Konjugatregeln:
    $$a^2-b^2= (a+b)(a-b)$$
  • Konjugat: olika uttryck kan vara i konjugat till varandra om när de multipliceras uppfyller konjugatregeln. exempelvis så är \(3x+y \) konjugatet till \(3x-y\)