Den naturliga logaritmen

I de tidigare avsnitten har vi introducerat Talet e och visat hur vi deriverar exponentialfunktioner av typen f(x)=e^x och f(x) =e^kx. Men vad är det egentligen som gör talet e så speciellt, ett irrationelt tal som ungefär är lika med 2,72?

I det här avsnittet ska vi gå igenom varför talet e är så användarbart.

Att skriva om ett tal som en potens med basen e

I Matte 2-kursen gick vi igenom hur vi kan skriva om ett tal så att det uttrycks i tiopotensform, alltså skriva om ett tal med hjälp av logaritmer som en potens med basen 10.

Om vi har talet 3 och vill skriva om det som en potens med basen 10 gör vi på följande sätt:

$$3=10^{\lg 3}$$

På samma sätt kan vi skriva om ett tal som en potens med basen e, där logaritmen för talet e betecknas som ln och kallas den naturliga logaritmen. För att skriva om talet 3 som en potens med basen e gör vi på följande sätt:

$$3=e^{\ln 3}$$

Om vi har ett tal a som vi vill skriva om till basen e så gör vi på följande sätt:

$$a=e^{\ln a}$$

Vad har vi för nytta av den naturliga logaritmen?

Anledningen varför vi har så stor nytta av att skriva om ett tal som en potens med basen e med hjälp av den naturliga logaritmen ln, är på grund av att det hjälper oss när vi ska derivera allmänna exponentialfunktioner. Utan den naturliga logaritmen hade vi behövt derivera exponentialfunktioner med närmevärden eller med hjälp av derivatans definition, vilket ibland kan upplevas som en omväg. Som vi såg i avsnittet med Talet e, så är derivatan av exponentialfunktioner så här

$$f(x) = a^x$$

$$f'(x) = a^x \cdot \ln a$$

Sammanfattning

Den naturliga logaritmen har basen e  och betecknas \(\ln(x)\) sen gäller likt de andra logaritmerna följande

$$\log_e(e^k) = \ln(e^k) = k$$

$$e^{\ln(k)} = k$$

Derivatan av exponentialfunktioner använder naturliga logaritmen

$$f(x) = a^x \Rightarrow f'(x) = a^x \cdot \ln a$$