Derivatan av e^(kx)

I det tidigare avsnittet lärde vi oss att derivatan av exponentialfunktionen f(x)=ex är f'(x)=ex. Hur ser då derivatan ut om exponentialfunktionen även har en konstant k i exponenten, till exempel funktionen f(x)=e3x?

I det här avsnittet ska vi titta närmare på exponentialfunktionen av typen

$$f(x)=e^{kx}$$

och hur dess derivata ser ut.

Derivatan av f(x)=ekx

För att ta reda på detta undersöker vi först derivatan av funktionen f(x)=e3x. Vi deriverar funktionen med hjälp av derivatans definition:

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Vi börjar med att stoppa in funktionen f(x) och förenklar så långt vi kan:

$$\begin{align} f'(x) = & \lim_{h \to 0}\frac{e^{3(x+h)}-e^{3x}}{h} \\ & \\= & \lim_{h \to 0}\frac{e^{3x}\cdot e^{3h}-e^{3x}}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{ e^{3x}(e^{3h}-1)}{h}\end{align}$$

Eftersom \(e^{3x}\) inte påverkar gränsvärdet då \(h\to0\), kan vi lägga den utanför gränsvärdesoperationen:

$$e^{3x}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{ e^{3h}-1}{h}$$

För att ta reda på vad gränsvärdet går mot då \(h\to0\) ställer vi upp en tabell och testar vad uttrycket blir då h närmar sig 0:

\(h\) \(\dfrac{ e^{3h}-1}{h}\)
0,1  3,49859...
0,01  3,04545...
0,00001  3,00005...

Som vi ser i tabellen kommer gränsvärdet gå mot 3 då h går mot 0. Detta innebär:

$$e^{3x}\cdot\lim_{h \to 0}\frac{ e^{3h}-1}{h} = e^{3x} \cdot 3$$

Vi har alltså hittat derivatan till f(x)=e3x, vilket är f'(x)=3e3x.

På samma sätt som vi tog fram derivatan för f(x)=e3x kan vi ta fram derivatan för f(x)=ekx och det kan vi sammanfatta i regeln:

\(\mathbf{f(x)=e^{kx}}\)  har derivatan  \(\mathbf{f'(x)=k\cdot e^{kx}}\)

där k är en konstant.

Videolektion

En förklaring till talet e och hur man skriver om ett tal så den får basen e.

Här går vi igenom hur vi deriverar en exponentialfunktion med e som bas och en konstant i exponenten tillsammans med en oberoende variabel.

Har du en fråga du vill ställa om Derivatan av e^(kx)? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se
  • Derivata: en funktion som beskriver förändringshastigheten (lutningen) till en annan funktion
  • Derivatans definition: gränsvärdet när h närmar sig 0
    $$f’(x) = \lim_{h\to 0} = \frac{ f(x+h) -f(x) }{ h}$$
  • Exponentialfunktion: funktion med variabel i exponenten, skrivs på formen
    $$f(x) = C\cdot a^x $$
    där C blir startvärde och a förändringsfaktor
  • Talet e: irrationellt tal som ungefär är lika med värdet 2,72… e är basen till den naturliga logaritmen och kan definieras med gränsvärdena
    $$e = \lim_{h\to 0} (1+h) ^{\frac{1}{h}} = \lim_{n\to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$$