Derivatans definition

Vi har i tidigare avsnitt ställt upp ändringskvoter och beräknat gränsvärden. Nu ska vi ställa upp ett generellt uttryck som gäller för alla gränsvärden. Vi föreställer oss en generell funktion y = f(x), och sätter ut en godtycklig punkt med koordinaten (x, f(x)):

Vi sätter sedan, på samma sätt som vi gjort tidigare, ut en ytterligare punkt, som ligger på avståndet h från den första punkten (x, f(x)). Denna andra punkt får koordinaterna ( (x+h), f(x+h) ):

Derivatans h-definition

k-värdet för linjen som sammanbinder dessa båda punkter blir:

$$k=\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Om vi nu låter den högra punkten ( (x+h), f(x+h) ) ligga närmare och närmare den vänstra (x, f(x)), så innebär det att vi låter h, avståndet mellan punkterna, gå mot noll:

$$h\rightarrow 0$$

(Detta är samma tankegång som i avsnittet om tangentens lutning, där vi definierade formeln för ändringskvoten, men då utgick vi från en specifik punkt (2, f(2)) och lät den andra punkten (x, f(x)) närma sig den första punkten genom att x gick mot 2.)

Gränsvärdet för (x, f(x)) blir:

$$k=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Detta uttryck kallas för derivatans definition.

Vi kommer gå i på detta mer i nästa avsnitt, men vi har vissa villkor för att en funktion ska gå att derivera. Vi säger att en funktion är deriverbar i varje punkt i definitionsmängden ska kallas deriverbar. 

Vill vi använda denna formel för att beräkna derivatan av funktionen f i den punkt där x=a, alltså f´(a), så blir alltså formeln:$$f{}'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

$$f'(a)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Vi sammanfattar med hjälp av följande animering från GeoGebra, testa gärna att, zooma in, visa tangenten, flytta på punkterna och se hur saker förändras!

Videolektioner

Här går vi igenom derivatans definition.

Derivera med derivatans definition.

Har du en fråga du vill ställa om Derivatans definition? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se
  • Riktningskoefficient: koefficient som anger lutningen i en tangent, k-värdet i \(y= kx+m\)
  • Tangent: en rät linje som bara nuddar en kurva en gång, vi kan också säga att en linje tangerar en kurva och den bara nuddar i en punkt
  • Gränsvärde: det värde som en funktion närmar sig när vi låter värdet vi stoppar in i funktionen närmar sig ett bestämt värde.
    $$ \lim_{x \to a} f(x) $$
    ”gränsvärdet av f(x) när x närmar sig a”
  • Derivatans definition: gränsvärdet när h närmar sig 0
    $$ f’(x) = \lim_{h \to 0} = \frac{f(x+h) -f(x) }{ h}$$