Exponentialfunktioner

I det här avsnittet ska vi titta närmare på allmänna exponentialfunktioner och hur vi deriverar dem. En allmän exponentialfunktion skriver vi på följande sätt:

$$f(x)=C\cdot a^x$$

där C och a är konstanter.

Derivatan av f(x)=ax

För att kunna derivera en allmän exponentialfunktion behöver vi först skriva om funktionen som en potens med basen e, vilket vi lärde oss i förra avsnittet när vi gick igenom den naturliga logaritmen. Då kan vi nämligen använda oss av deriveringsregeln för f(x)=ekx.

Vi skriver om exponentialfunktionen på följande sätt:

$$f(x)=a^x=e^{\ln a^x}=e^{x \ln a}$$

Nu ser vi att vår funktion har formen f(x)=ekx, vilket vi i tidigare avsnitt har sett derivatan för. Vi får enligt deriveringsregeln för f(x)=ekx:

$$f'(x)= \ln a \cdot e^{x \ln a}$$

På samma sätt som vi skrev om talet som en potens med basen e kan vi backa och skriva tillbaka talet i sin ursprungliga form:

$$f'(x)= \ln a \cdot e^{x \ln a}= \ln a \cdot e^{\ln a^x}=\ln a \cdot a^x$$

Vi kan sammanfatta detta och får då deriveringsregeln:

\(f(x)=a^x\) har derivatan \(f'(x)= \ln a \cdot a^x\)


Vi tittar på ett exempel

Beräkna derivatan för \(f(x)=3\cdot 5^x\)

Vi använder oss av regeln och får följande:

$$f'(x)=3\cdot \ln(5) \cdot 5^x$$

Derivatan av f(x)=akx

Ovan såg vi hur vi deriverar funktionen f(x)=ax, vilket är fallet då k=1. Derivatan av exponentialfunktioner som har en annan konstant k i exponenten än 1 tas fram på liknande sätt som ovan. Det första steget är att skriva om funktionen som en potens med basen e:

$$f(x)=a^{kx}=e^{\ln a^{kx}}=e^{kx \ln a}=$$

Enligt deriveringsregeln för f(x)=ekx får vi:

$$f'(x)= k \cdot \ln a \cdot e^{kx \ln a}$$

Gör vi om talet till sin ursprungliga form får vi:

$$f'(x)= k \cdot \ln a \cdot e^{kx \ln a}= k \cdot \ln a \cdot e^{\ln a^{kx}}=k \cdot \ln a \cdot a^{kx}$$

Detta kan vi sammanfatta till deriveringsregeln:

\(f(x)=a^{kx}\) har derivatan \(f'(x)= k\cdot \ln a \cdot a^{kx}\)


Exempel 1

Derivera funktionen \(f(x)=3\cdot4^{3x}\)

Vi använder oss av regeln vi precis lärde oss och får följande:

$$f'(x)=3 \cdot 3 \cdot \ln(4) \cdot 4^{3x}=9 \cdot \ln(4)\cdot 4^{3x}$$


Exempel 2

Temperaturen (T) i en ugn ökar enligt funktionen nedan, där x är tiden i minuter. Med hur många grader per minut ökar temperaturen vid tiden 15 minuter?

$$T(x)=120\cdot 1,09^x$$

Lösningsförslag:

Vi ska beräkna hur många grader per minut temperaturen ökar vid tiden 15 minuter, vilket betyder att vi ska beräkna följande:

$$T'(15)$$

Vad vi vill göra är alltså att beräkna funktionens derivata och sedan undersöka derivatans värde då variabeln x (tiden) har värdet 15.

Derivatan av funktionen beräknas med hjälp av deriveringsregeln för f(x)=ax:

$$T'(x)=120\cdot \ln(1,09) \cdot 1,09^{x}$$

Vi stoppar in x=15 i derivatan och får:

$$T'(15)=120 \cdot \ln(1,09) \cdot 1,09^{15} \approx 37,7$$

Svar: Antalet grader temperaturen ökar per minut vid 15 minuter är 37,7 grader/minut.

Videolektion

En förklaring till talet e och hur man skriver om ett tal så den får basen e.

Har du en fråga du vill ställa om Exponentialfunktioner? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se