Härledning f’(x)=e^x

I det förra avsnittet visade vi att det finns ett tal e, med den speciella egenskapen att om f(x)=ex så har denna funktion derivatan f´(x)=ex. I det här avsnittet ska vi visa att derivatan av f(x)=ex faktiskt är f'(x)=ex, genom att härleda detta med hjälp av derivatans definition.


I ett tidigare avsnitt gick vi igenom derivatans h-definition, som ser ut på följande sätt:

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

För att visa att funktionen f(x)=ex har derivatan f'(x)=ex använder vi oss av derivatans definition. Vi börjar med att stoppa in funktionen f(x) och förenklar så långt vi kan:

$$\begin{align} f'(x)= & \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^x}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{e^x\cdot e^h-e^x}{h} \\ & \\ = & \lim_{h \to 0}\frac{e^{x}\cdot (e^{h}-1)}{h} \end{align}$$

Eftersom \(e^{x}\) inte påverkar gränsvärdet då \(h\to0\), kan vi lägga den faktorn utanför gränsvärdesoperationen:

$$f'(x)=e^{x}\cdot \lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$$

I det här läget kan vi inte förenkla något mer. Tittar vi närmare på uttrycket ser vi att vi har två faktorer, ex och ett gränsvärde. För att komma vidare måste vi undersöka vad gränsvärdet går mot, så vi kan ersätta denna gränsvärdes-faktorn med ett tal. Vi har alltså gränsvärdet:

$$\lim_{h \to 0}\frac{e^{h}-1}{h}$$

För att ta reda på gränsvärdet testar vi numeriskt vad uttrycket blir genom att låta h anta små värden.

\(h\) $$\dfrac{e^{h}-1}{h}$$
0,1 1,0517…
0,01 1,005...
0,000001 1,0000005...

Vi ser att uttrycket går mot 1 när h går mot 0. Det innebär alltså att gränsvärdet är lika med 1:

$$\lim_{h\to 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1$$

Eftersom vi nu vet att gränsvärdet är lika med 1 kan vi ersätta gränsvärdes-faktorn med 1:

$$\begin{align}f'(x)= & e^{x}\cdot \lim_{h\to 0} \frac{e^{h}-1}{h} \\ & \\ = & e^{x}\cdot 1 \\ & \\ = & e^{x} \end{align}$$

Vi har alltså visat att om vi har funktionen:

$$f(x)=e^x$$

så är dess derivata lika med:

$$f'(x)=e^x$$

Videolektion

Här går vi igenom och härleder hur vi deriverar exponentialfunktionen med talet e som bas.

Har du en fråga du vill ställa om Härledning f’(x)=e^x? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se