Talet e

I Matte 2-kursen lärde vi oss att använda exponentialfunktioner. Exponentialfunktioner skrivs allmänt på formen:

$$f(x)=c\cdot a^{x}$$

där c och a är konstanter.

Ett exempel på en exponentialfunktion är

$$f(x)=2^{x}$$

I tidigare avsnitt har vi funnit deriveringsregler för ett antal vanliga polynomfunktioner. I detta avsnitt ska vi titta närmare på derivatan för en speciell typ av exponentialfunktion, nämligen den som innehåller talet e.

Kan en funktions derivata vara lika med funktionen?

Frågan vi ställer oss är alltså: finns det en funktion f(x) som har en derivata f'(x) som är lika med sig själv, med andra ord sammanfaller någonsin f(x)=f'(x)?

I följande figur har grafen till funktionen f(x) = 2x och dess derivata f'(x) ritats in. Lägg märke till hur lika funktionskurvan och derivatakurvan är varandra. Derivatakurvan ligger strax under funktionskurvan.

I följande figur har vi ritat in funktionen till y = 3x samt dess derivata. Denna gång hamnar derivatakurvan ovanför funktionskurvan, men även denna gång är kurvorna mycket lika varandra.

Frågan vi ställde oss själva i början kan omformuleras till: finns det någon exponentialfunktion, där derivatans kurva helt sammanfaller med funktionens kurva?

Svaret på frågan är ja, och funktionen som uppfyller detta är:

$$f(x)=e^x$$

Talet e som presenteras i funktionen är ett irrationelt tal och är ungefär lika med 2,72. Hur vi kommer fram till detta gås igenom noggrannare i nästa avsnitt.

Vi sammanfattar detta med deriveringsregeln

\(f(x)\) \(f'(x)\)
\(e^x\) \(e^x\)
Har du en fråga du vill ställa om Talet e? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se