Ökning och minskning

Vi har gått igenom hur man kan hitta en funktions derivata genom att använda derivatans h-definition och funnit genvägar till funktioners derivata genom ett antal deriveringsregler. Nu ska vi titta närmare på funktioner och deras grafer, och hur dessa förhåller sig till tangentens lutning.

Beroende på hur tangenten till en kurva lutar, kommer den ha olika k-värden.

Låt oss undersöka den enkla andragradsfunktionen f(x)=x2+1 och dess graf

Ökning och minskning

I figuren ovan är tre punkter på kurvan markerade: a med koordinaterna (-1, 2), b med koordinaterna (1, 2), och c med koordinaterna (0, 1).

Punkten a har en tangent som är avtagande. Tangentens k-värde/derivatan i punkten är negativ.

Om f '(x) < 0 är tangenten i x avtagande.

Vi kan också se i figuren att tangenten för alla punkter längs kurvan vars x-värde ligger i intervallet

$$-\infty <x<0$$

är avtagande, det vill säga har negativ derivata. Detta gäller alltså alla punkter längs kurvan som ligger till vänster om punkten c i figuren.

En funktion är strängt avtagande i ett intervall

$$a\leq x\leq b$$

om det i detta intervall gäller att varje par av x-värden där x1<x2 också har funktionsvärden där f(x1)>f(x2). Man kan också uttrycka att en funktion är strängt avtagande i ett intervall om

$$ f'(x)<0$$

gäller för alla x-värden i intervallet.

I vårt exempel är funktionen strängt avtagande i intervallet

$$-\infty<x<0$$

eftersom funktionsvärdet f(x) hela tiden minskar ju större värden på x vi väljer.

Punkten b har en tangent som är växande. Tangentens k-värde/derivatan i punkten är positiv.

Om f '(x) > 0 är tangenten i x växande.

På ett liknande sätt som vi gjorde nyss kan vi titta på figuren och se att tangenten för alla punkter längs kurvan vars x-värde ligger i intervallet

$$ 0<x<\infty $$

är växande, det vill säga har positiv derivata. Detta gäller alltså alla punkter längs kurvan som ligger till höger om punkten c i figuren.

En funktion är strängt växande i ett intervall

$$ a\leq x\leq b $$

om det i detta intervall gäller att varje par av x-värden där x1<x2 också har funktionsvärden där f(x1)<f(x2). Man kan också uttrycka att en funktion är strängt växande i ett intervall om

$$f'(x)>0$$

gäller för alla x-värden i intervallet.

I vårt exempel är funktionen strängt växande i intervallet

$$ 0<x<\infty $$

eftersom funktionsvärdet f(x) hela tiden ökar ju större värden på x vi väljer.

Punkten c har en tangent som är helt horisontell (parallell med x-axeln). Tangentens k-värde/derivatan i punkten är lika med 0.

Om f '(x) = 0 är tangenten i x utan lutning.

Videolektioner

Här går vi igenom när en funktion är växande eller avtagande.

Här fortsätter vi gå igenom när en funktion är växande eller avtagande.

Förklaring till hur man tar reda på om en funktion är växande eller avtagande. 

Har du en fråga du vill ställa om Ökning och minskning? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se