Skissa grafer

I det här avsnittet ska vi titta på hur vi kan skissa en graf utifrån en funktion. Vi tar hjälp av det vi har lärt oss om derivatan i de förgående avsnitten.

Skissa en graf

Nu ska vi studera några egenskaper hos följande funktion

$$f(x)=x^{2}-x-2$$

a) I vilka intervall är funktionen växande?

En växande kurva har en derivata som är större än noll. Om vi börjar med att hitta x-värden för de punkter där derivatan är lika med noll, så kan vi därefter använda teckenstudium.

Vi deriverar funktionen och sätter derivatan lika med noll. Genom att lösa den ekvation vi får då hittar vi de sökta x-värdena:

$$f'(x)=2x-1$$

$$0=2x-1$$

$$x=0,5$$

I det här fallet hittade vi bara ett x-värde (x=0,5), vilket betyder att funktionen bara har en punkt där tangenten till kurvan är horisontell (derivatan lika med noll).

Vi vet ännu inte om den funna punkten är en maximi-, minimi-, eller terrasspunkt, eller var i y-led punkten befinner sig.

Dock kan vi börja med att skissa funktionens graf utifrån vad vi vet om denna punkt - vi vet att derivatan i punkten är lika med noll (tangenten är horisontell med x-axeln) och vi vet att x-värdet för punkten är x=0,5:

Skissa grafer Bild 1

Nu ska vi testa att sätta in ett x-värde större än 0,5 i uttrycket för derivatan, för att se hur lutningen ser ut till höger om punkten. Det kan endast vara en typ av lutning på varje sida (antingen strikt växande eller strikt avtagande), annars hade vi hittat fler punkter tidigare då vi sökte derivatans nollställen:

$$f'(1)=2\cdot 1-1=1$$

Derivatan är positiv i x=1. Kurvan är med andra ord växande till höger om x=0,5. Vi skissar in detta i figuren:

Skissa grafer Bild 2

Vi gör likadant med ett x-värde mindre än 0,5 för att se hur derivatan ser ut till vänster om punkten:

$$f'(0)=2\cdot 0-1=-1$$

Derivatan är negativ i x=0. Kurvan är med andra ord avtagande till vänster om x=0,5. Även denna information lägger vi till i figuren, där vi nu börjar ana kurvans form:

Skissa grafer Bild 3

Vi har nu tillräckligt med information för att säga att kurvans liknar en glad mun och har ett minimivärde i x=0,5. För att svara på den inledande frågan i uppgiften kan vi alltså veta att funktionen är växande för x-värden i intervallet

$$x> 0,5$$

vilket ju är för alla punkter på kurvan till höger om minimipunkten.

b) Bestäm kurvans nollställen, samt minimipunktens placering.

Det kan vara lätt att blanda ihop hur man hittar funktionens nollställen med hur man hittar möjliga extrempunkters x-värde (där derivatan har ett nollställe). I en möjlig extrempunkt är derivatan 0 (alltså f ´(x)=0); i ett nollställe med avseende på kurvan är funktionsvärdet 0 (alltså f(x)=0, vi befinner oss i detta fall i en punkt någonstans längs x-axeln).

Om vi börjar med att sätta f(x) = 0, så kommer vi alltså att få kurvans nollställen, det vill säga hitta de x-värden där kurvan skär x-axeln. Det gör vi nu:

$$f(x)=x^{2}-x-2$$

$$x^{2}-x-2=0$$

$$x=-\frac{(-1)}{2} \pm\sqrt{\left ( \frac{(-1)}{2} \right )^{2}-(-2)}=$$

$$=\frac{1}{2} \pm\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{1}{2} \pm\frac{3}{2}$$

$$\begin{align} x_{1} & =2 \\ x_{2} & =-1 \end{align}$$

Dessa är alltså de sökta nollställena.

Minimipunktens x-koordinat har vi redan beräknat i a). Allt vi behöver nu är y-koordinaten. Vad gör vi om vi har ett x-värde och vill ha ut ett y-värde? Jo, sätter in x-värdet i f(x):

$$f(0,5)=0,5^{2}-0,5-2=-2,25$$

Nu vet vi minimipunktens koordinater, som alltså är (0,5; -2,25).

Vi sammanfattar denna uppgift genom att skissa grafen till funktionen \(f(x)=x^{2}-x-2\) utifrån den information vi har tagit fram i a) och b):

Skissa grafer Bild 4


Bestäm funktionens största värde i det angivna intervallet:

$$f(x)=x^{4}-2x^{2}$$

$$-1< x\leq 2$$

Vi börjar med att identifiera möjliga extrempunkters x-värden. Det gör vi på samma sätt som tidigare genom att derivera funktionen, sätta derivatan till noll och lösa den resulterande ekvationen:

$$f{}'(x)=4x^{3}-4x$$

$$0=4x\cdot (x^{2}-1)$$

$$x_{1}=0$$

$$x^{2}-1=0 \Rightarrow$$

$$\begin{align} x_{2} & =1 \\ x_{3} & =-1\end{align}$$

Notera att x3=-1 ligger utanför intervallet som vi skulle undersöka. Funktionsvärdet i den möjliga extrempunkt som ligger vid detta x-värde kan därför inte vara del i svaret.

För övrigt har vi två punkter som eventuellt är maximipunkter och därför även är kandidater för att vara det högsta funktionsvärdet i intervallet. Vi har ett möjligt extremvärde som ligger någonstans där x=0 och ett som ligger någonstans där x=1.

Vi beräknar funktionsvärdena (y-värdena) i de tre punkterna, där derivatan alltså är lika med noll:

$$f(-1)=(-1)^{4}-2\cdot (-1)^{2}=1-2=-1\Rightarrow (-1,-1)$$

$$f(0)=0^{4}-2\cdot 0^{2}=0\Rightarrow (0,0)$$

$$f(1)=1^{4}-2\cdot 1^{2}=-1\Rightarrow (1,-1)$$

Vi lägger in dessa tre punkter i en figur. Då får vi en bättre överblick på hur kurvan ser ut:

Skissa grafer Bild 5

Härefter går vi vidare med teckenstudium. Syftet med teckenstudien är att vi ska ta reda på om var och en av våra punkter är en maximi-, minimi- eller terrasspunkt. För säkerhets skull ska vi identifiera hela kurvan, även den del av kurva som är utanför intervallet.

I uttrycket för funktionens derivata testar vi att sätta in ett värde på x som är mindre än -1, ett x som är större än -1 men mindre än 0, ett x som är större än 0 men mindre än 1, samt ett x som är större än 1:

$$f'(-2)=4\cdot (-2)^{3}-4\cdot (-2)=4\cdot (-8)+8=-24\Rightarrow -$$

$$f'(-0,5)=4\cdot (-0,5)^{3}-4\cdot (-0,5)=4\cdot (-0,125)+2=1,5\Rightarrow +$$

$$f'(0,5)=4\cdot 0,5^{3}-4\cdot 0,5=4\cdot 0,125-2=-1,5\Rightarrow -$$

$$f'(2)=4\cdot 2^{3}-4\cdot 2=4\cdot 8-8=24\Rightarrow +$$

De här resultaten sammanställer vi i en teckentabell:

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2
f'(x) - 0 + 0 - 0 +

Vi kan nu komplettera vår tidigare figur ovan med den nya informationen från vår teckenstudie. Vi vet nu hur kurvan lutar mellan punkterna där derivatan är lika med noll. Utöver det vet vi också hur kurvan lutar när man går till vänster om den extrempunkt som ligger längst till vänster och till höger om den som ligger längst till höger.

Kurvan bör alltså likna den i följande figur:

Skissa grafer Bild 6

I det här läget får vi se upp så att vi inte råkar dra den förhastade slutsatsen att största funktionsvärdet är f(0), bara för att vi hade en maximipunkt där. I uppgiften söktes det största funktionsvärdet inom intervallet

$$-1< x\leq 2$$

Eftersom kurvan är växande till höger om extrempunkten (1,-1), så måste vi kontrollera hur stort det största funktionsvärdet är inom intervallet

$$1< x\leq 2$$

Utifrån vad vi vet om kurvans lutning i detta intervall, kommer det största funktionsvärdet naturligtvis att finnas i den punkt på kurvan där x=2. Vi beräknar därför f(2) och kollar om det blir större än f(0):

$$f(2)=2^{4}-2\cdot 2^{2}=16-8=8$$

Här har vi alltså hittat det största funktionsvärdet i intervallet: y=8 (i punkten där x=2).

Videolektion

Förklaring till hur man kan skissa grafer med hjälp av derivata.

Har du en fråga du vill ställa om Skissa grafer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se