Största och minsta värde

I det förra avsnittet undersökte vi ökning och minskning vad gäller funktionsvärden och hur sådana förändringar hänger ihop med derivatan i olika punkter på en kurva.

Nu ska vi titta närmare på ett av de fall som vi hittade i det förra avsnittet - fallet då derivatan är lika med noll och tangenten i en sådan punkt alltså är horisontell (den är parallell med x-axeln). Vi ska även titta närmare på när en funktion antar sitt största eller minsta värde.

Derivatans nollställen

Varför är just sådana punkter där derivatan är lika med noll särskilt intressanta? Jo, om derivatan är noll och tangenten alltså är horisontell med x-axeln, då betyder det att vi på kurvan befinner oss högst uppe på en "topp" (vad vi i fortsättningen kommer att kalla en maximipunkt), längst ner i en "dal" (en minimipunkt) eller på en "terrass" (en terrasspunkt). En terrasspunkt är en punkt som på båda sidor om sig har en växande kurva eller på båda sidor en avtagande kurva.

Ett gemensamt begrepp som används för maximi- och minimipunkter är extrempunkter, eftersom vi i dessa punkter har funktionsvärden som är högre (maximipunkt) alternativt lägre (minimipunkt) än omgivande funktionsvärden för kurvan.


I figurerna nedan visar vi exempel på hur maximipunkter, minimipunkter och terrasspunkter kan se ut

Maximipunkt

Minimipunkt

Terrasspunkt

 

Största och minsta värde

En funktion kan anta sitt största eller minsta värde i extrempunkter (maximipunkter eller minimipunkter) eller i intervallets ändpunkter. En funktion kan vara definierad för ett visst intervall och det är i början och slutet av intervallet som är intervallets ändpunkter.

Exempel: En funktion, dess extrempunkter och extremvärden

Vi tittar närmare på funktionen nedan och dess graf. Vi vill undersöka funktionens extrempunkter, extremvärden och om den har ett största eller minsta värde.

$$f(x)=x^{3}+2x^{2}+2$$

Graf

I denna graf har vi markerat ett maximivärde (a) och ett minimivärde (b). Vi vet att (a) och (b) är extrempunkter eftersom tangentens lutning i dessa punkter är horisontell och punkten (a) ligger på en "topp" och punkten (b) ligger i en "dal".

Vi kan hitta dessa punkters koordinater utifrån den information vi har om derivatan till funktionen. Eftersom det är extrempunkters koordinater vi söker, vet vi att tangenterna är utan lutning - derivatan i dessa punkter är lika med noll, vilket vi kan använda:

$$f'(x)=0$$

Vi behöver därför derivera funktionen, sedan sätta uttrycket lika med noll och sist lösa den ekvation vi får.

Först deriverar vi funktionen enligt de deriveringsregler som vi har kommit fram till tidigare:

$$f(x)=x^{3}+2x^{2}+2$$

$$f'(x)=3x^{2}+4x$$

Sedan sätter vi derivatan lika med noll:

$$0=3x^{2}+4x$$

Slutligen löser vi ekvationen (i det här fallet går ekvationen att lösa med nollproduktmetoden, vilket är det enklaste sättet när den är tillämpbar, men vi kan också lösa den med pq-formeln):

$$0=3x^{2}+4x$$

$$0=x(3x+4)$$

$$\begin{align} x_{1} & =0 \\ x_{2} & =-\frac{4}{3} \end{align}$$

Nu har vi hittat x-värdena för de båda extrempunkterna. Sätter vi in dessa x-värden i f(x) får vi också ut y-värdena i dessa punkter:

$$f(0)=0^{3}+2\cdot 0^{2}+2=2$$

Det ena extrempunkten (b), minimipunkten, ligger i (0,2).

$$f\left (-\frac{4}{3}\right )=\left ( -\frac{4}{3} \right )^{3}+2\cdot \left ( -\frac{4}{3} \right )^2 +2=$$

$$=-\frac{64}{27}+\frac{32}{9}+2=-\frac{64}{27}+\frac{96}{27}+\frac{54}{27}=$$

$$=\frac{86}{27}$$

Att beräkna funktionsvärdet för den andra extrempunkten (a), maximipunkten, var mer komplicerat, men till slut hittade vi den och kan konstatera att koordinaterna för punkten är (-4/3, 86/27), vilket är ungefär (-1,3; 3,2).

Vi kan nu svara på att det dessa värden för punkterna är varken det största eller minsta värde för funktionen. Om vi undersöker grafens utseende ser vi att funktionen fortsätter uppåt när vi går längst den positiva x-axeln och fortsätter neråt när vi går längst den negativa x-axeln. Detta fortsätter och funktionen har varken ett största eller minsta värde.

Exempel: En funktion som begränsas av ett intervall

I det här exemplet tittar vi närmar på funktionen:

$$f(x)=x^3+3x^2$$

Som är begränsad i intevellet \(-4 \leq x\leq 2\).

Vi vill ta reda på det största och minsta värdet till funktionen som är definierat i intervallen ovan. Vi börjar med att ta reda på extremvärdena för funktionens extrempunkter. Det görs genom att först derivera och sätta derivatan till 0:

$$f'(x)=3x^2+6x$$

$$\begin{align} 3x^2+6x & =0 \\ x(3x+6) & =0 \end{align}$$

Här har vi två faktorer som ska vara lika med 0, det betyder att vi kan avläsa första faktorn och se att x1=0, för den andra gäller:

$$\begin{align} 3x+6 & =0 \\ 3x & = -6 \\ x_2 & =-2\end{align}$$

Vi har alltså hittat två x-värden till de extrempunkter som vi söker. Vi letar nu efter extremvärdena (y-värdena) i dessa två punkter. Det görs genom att stoppa in de funna x-värdena i funktionen:

För x1=0:

$$f(0)=0^3+3\cdot 0^2 = 0$$

För x2=-2:

$$f(-2)=(-2)^3+3\cdot(-2)^2=-8+12=4$$

Detta ger att vi har extremvärden i punkterna, vilka är y1=0 (som är kandidat för att vara det minsta värdet) och y2=4 (som är kandidat för att vara det största värdet).

För att vara säkra på om dessa extremvärden är de största eller minsta värdena för funktionen måste vi även testa intervallets ändpunkter, nämligan då x=-4 och x=2:

$$f(-4)=(-4)^3+3\cdot (-4)^2=-64+48=-16$$

$$f(2)=2^3+3\cdot 2^2=8+12=20$$

De största och minsta värdena till funktionen låg alltså inte i extrempunkterna, utan i intervallets ändpunkter. Det största värdet är 20 och det minsta värdet är -16.

Videolektioner

Här går vi igenom extrempunkter och extremvärden.

Här går vi igenom hur vi hittar det största och minsta värdet för en funktion i ett intervall.

Har du en fråga du vill ställa om Största och minsta värde? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se