Arean mellan två kurvor

I det förra avsnittet introducerade vi begreppet integral och såg hur man kan bestämma arean mellan en kurva och x-axeln genom att beräkna integralen.

Om man vill beräkna arean mellan två kurvor, hur gör man då?


Vi undersöker ett exempel

Nedan ser vi ett koordinatsystem med två kurvor inritade. Den övre kurvan beskrivs av funktionen f(x) = 2x + 4 och den undre kurvan av funktionen g(x) = -3x + 2.

Figur1

Områdets area beräknas i detta fall så här:

$$A=\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))dx$$

f(x) är alltid kurvan som ligger överst och g(x) kurvan som ligger underst. Ska vi då beräkna arean mellan kurvorna i intervallet x = 0 till x = 2, så gör vi så här:

$$A=\int_{0}^{2}((2x+4)-(-3x+2))dx =$$

$$= \int_{0}^{2}(5x+2)dx$$

Härnäst koncentrerar vi oss på det högra ledet i integralen: vi fram den primitiva funktionen och använder de övre och undre gränserna för att beräkna arean.

Om vi använder beteckningen h(x) för differensen

$$h(x)=f(x)-g(x)=5x+2$$

så får vi den primitiva funktionen H(x):

$$H(x)=\frac{5x^2}{2}+2x+C$$

Med denna kända information fortsätter vi med areaberäkningen:

$$A=\int_{0}^{2}h(x)\:dx = \left [ H(x) \right ]_0^2$$

$$A=\int_{0}^{2}(5x+2)\:dx = \left [ \frac{5x^{2}}{2} +2x \right ]_0^2=$$

$$=\frac{5\cdot 2^{2}}{2}+2\cdot 2=10+4=14 \: a.e.$$

Arean för det område som begränsas av de båda kurvorna f(x) = 2x + 4 och g(x) = -3x + 2 och de vertikala linjerna x=0 och x=2 är alltså 14 areaenheter.


Videolektion

Så räknar vi ut arean mellan två kurvor.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Arean mellan två kurvor? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se