Grundplåt till körkort

Jessica har precis tre år kvar till sin 18-årsdag och tänkte börja månadsspara för att få ihop en grundplåt på 5 000 kr till ett körkort.

Hur mycket måste hon spara per månad ifall hon sätter in pengarna på ett sparkonto med fast årsränta på 4% i slutet av varje månad?

Förräntningen sker månadsvis. Tips: räkna först ut vilken månadsränta den angivna årsräntan motsvarar.

Korkort

Lösningsförslag:

Vi kallar månadsräntan för \(x\).

$$\\(1+x)^{12}=1+4\%\\\\ (1+x)=1,04^{\frac{1}{12}}\\\\ x=1,04^{\frac{1}{12}}-1=0,0032737)0,32737\%$$

Vi kallar det belopp som Jessica ska spara per månad för \(y\) (kr).

Det första månadsbeloppet kommer förräntas i 3∙12 - 1 = 35 månader. Det andra i 34 månader, o.s.v. fram till det sista som inte kommer förräntas alls.

Vi låter \(S\) vara lika med totalt kapital vid 18-årsdagen. Vi kan då ställa upp följande formel:

$$\\S=y\cdot (1+x)^{35}+y\cdot (1+x)^{34}+..... y\cdot (1+x)^{1}=\\\\y\cdot (1+(1+x)+...+(1+x)^{34}+y\cdot (1+x)^{35})$$

Vi kan nu notera att \(S\) är en geometrisk summa. Således kan den skrivas om som:

$$S=y\frac{(1+x)^{36}-1}{(1+x)-1}=y\frac{(1+x)^{36}-1}{x}$$

Vi söker nu det månadsbelopp \(y\) som gör att \(S\) blir lika med 5 000.

$$\\S=y\frac{(1+x)^{36}-1}{x}=5000\\\\ y=\frac{5000x}{(1+x)^{36}-1}=\frac{5000\cdot 0,0032737}{1,0032737-1}=131,09\approx 130$$

Jessica behöver spara ca. 130 kr/månad.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.

Har du en fråga du vill ställa om Grundplåt till körkort? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se