Logaritmer

1. Lös följande ekvationer:

a)  \(3\cdot9^x=\frac{1}{81}\)

b)  \(4^x-40\cdot 2^x+256=0\)

c)  \(\log(x-1)+\log(9x+1)=3\)

 

2. Antag att \(\log 5 =a\). Skriv \(\log 5000\) och \(\log 20\) uttryckt i \(a\).

Tips: \(5000=5\cdot1000\) och \(20=\frac{100}{5}\)

 

3. Värdet \(y\) kr på en dator efter \(x\) år från inköp ges med formeln \(y=C\cdot a^x\)

a) Då datorn var ny var den värd 8000 kr, men efter 3 år är den bara värd 2000 kr. Bestäm \(C\) och \(a\).

b) Efter hur lång tid är den värd 4000 kr?

 

Lösningsförslag:

1 a)

$$\begin{align} 3\cdot9^x & =\frac{1}{81} \\ \log(3\cdot9^x) & =\log\left(\frac{1}{81}\right) \\ \log3 + \log9^x & = \log1-\log81\\ \log3 + x\cdot \log9 & = -\log81\\ x & = \frac{\log 81-\log3}{\log9}\\ x & \approx -2.5 \end{align}$$

 

1 b) För att lösa denna ekvation använder vi oss av följande omskrivning:

$$4^x=(2^2)^x=2^{2x}=(2^x)^2$$

och skriver ekvationen som:

$$(2^x)^2-40\cdot 2^x+256 = 0$$

Vi gör följande variabeltransformation \(t=2^x\) och skriver ekvationen som:

$$t^2-40t+256=0$$

Vi löser nu andragradsekvationen med hjälp av pq-formeln:

$$t=20\pm\sqrt{400-256}=20\pm12$$

Vilket ger lösningarna \(t_1=32\) och \(t_2=8\). Dessa lösningar stoppar vi tillbaka i variabeltransformationen \(t=2^x\) för att få ut \(x\). Kom ihåg att vi har två värden på \(t\) och får därför två värden på \(x\).

$$\begin{align}  \text{Fall 1:   }  2^x & =32 \\  2^x & =2^5\\ x & = 5 \end{align}$$

$$\begin{align} \text{Fall 2:   } 2^x &=8\\ 2^x & = 2^3\\ x & = 3 \end{align}$$

 

1 c)

\(\log (x-1)\) är definierat för \(x>1\). Dår är även \(9x+1>0\), så \(\log(9x+1)\) är definierat för \(x>1\).

Vi kommer i nästa steg använda oss av följande räkneregel: \(\log x + \log y = \log (x\cdot y)\). Vi vet även att \(\log(1000)=3\), då \(10^3=1000\), vilket vi också använder oss av i nästa steg.

Vi skriver om ekvationen som:

$$\log((x-1)(9x+1))=\log (1000)$$

och forsätter uträkningen på följande vis:

$$\begin{align} 10^{\log((x-1)(9x+1))} & = 10^{\log(1000)}\\ (x-1)(9x+1) & = 1000\\ 9x^2-8x-1001 & = 0 \end{align}$$

Nu använder vi oss av pq-formeln för att lösa ut \(x\):

$$\begin{align} x = & \frac{4}{9}\pm \sqrt{\frac{16}{81}+\frac{1001}{9}} = \\ & \frac{4}{9}\pm \sqrt{\frac{16}{81}+\frac{9009}{81}} = \\ & \frac{4}{9}\pm \frac{95}{9}\end{align}$$

$$\text{Fall 1:   } x_1=-\frac{91}{9} \text{ uppfyller inte olikheten } x>1$$

$$\text{Fall 2:   } x_2=11 \text{ uppfyller olikheten } x>1 \text{och är därför svaret.}$$

 

2)

Vi vill uttrycka \(\log 5000\) med \(a\), givet att \(\log5=a\).

Vi utnyttjar att:

$$\begin{align} & 5000=5\cdot1000\\ & \log1000 =3 \text{, då } 10^3=1000 \end{align}$$

Vi får då:

$$\begin{align} & \log 5000 = \log5\cdot 1000= \\ & \log5+\log1000=a+3\end{align}$$

Vilket betyder att \(\log 5000\) uttryck i \(a\) är \(a+3\).

 

Vi vill nu uttrycka \(\log20\) med \(a\), givet att \(\log 5=a\).

Vi utnyttjar att:

$$\begin{align} & \frac{100}{5}=20 \\ & \log100=2 \text{, då } 10^2=100 \end{align}$$

Vi får då:

$$\begin{align} & \log20=\log\frac{100}{5} = \\ & \log100-\log5 = 2-a \end{align}$$

Vilket betyder att \(\log 20\) uttryckt \(a\) är \(2-a\).

3a)

En dators värdeminskning ges av \(y=C\cdot a^x\). Vi börjar att räkna ut \(C\):

$$\begin{align} & \text{ då }x=0 \text{ är } y=8000 \\ & 8000=C\cdot a^0 \\ & C=8000 \end{align}$$

Vi räknar nu ut \(a\):

$$\begin{align} & \text{ då } x=3 \text{ är } y=2000\\ & 2000=8000\cdot a^3 \\ & a^3=\frac{2000}{8000}=\frac{1}{4} \\ & a= \left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\end{align}$$

 

3 b)

Vi ska nu bestämma tiden \(x\) då datorn är värd 4000 kr.

Ekvationen för en datorn värdeminskning är \(y=C\cdot a^x\). Vi vet att \(y=4000\), \(C=8000\) och \(a=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\). Lägger vi in värdena i ekvationen får vi följande:

$$4000=8000\cdot \left(\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{x}$$

Vi löser ut \(x\), som är tiden, ur denna ekvation. För att förenkla skrivandet behåller vi variabeln \(a\) i bokstavsform:

$$\begin{align} & 4000=8000\cdot a^x\\ & a^x=\frac{4000}{8000}=\frac{1}{2} \\ & \log a^x = \log\frac{1}{2} \\ & x\cdot\log a=\log\frac{1}{2}\\ & x=\frac{\log\frac{1}{2}}{\log a}\approx 1.5\end{align}$$

Alltså, efter 1.5 år är datorn värd 4000 kr.

Har du en fråga du vill ställa om Logaritmer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se