Andragradsekvationer

Vi har tidigare lärt oss om så kallade andragradekvationer och hur man kan göra för att lösa sådana ekvationer, bland annat med hjälp av pq-formeln. Låt oss repetera hur vi löser andragradsekvationer.

En fullständig andragradsekvation följer samma mönster som följande ekvation:

$$x^{2}+16x-4=0$$

Det ska alltså finnas en x2-term, en x-term, samt en konstant term. HL ska vara lika med noll.

Om x2-termen har en koefficient med något annat värde än 1, så behöver vi först skriva om uttrycket genom att dividera alla termer med koefficienten.


Här följer ett exempel på hur det kan gå till när x2-termen har koefficienten 2

$$2x^{2}+8x-2=0$$

$$\frac{2x^{2}}{2}+\frac{8x}{2}-\frac{2}{2}=\frac{0}{2}$$

$$x^{2}+4x-1=0$$


Det är även nödvändigt att ha endast noll i HL. Om något finns i HL måste ekvationen skrivas om, så att vi får noll i HL, innan vi kan gå vidare och tillämpa pq-formeln. Vad vi gör är att vi subtraherar det som står i högerledet från både vänsterledet och högerledet - kvar i högerledet blir då noll.


Här är ett exempel på hur det kan gå till

$$x^{2}+4x-1=7$$

$$x^{2}+4x-1-7=7-7$$

$$x^{2}+4x-8=0$$

När vi nu har en andragradsekvation skriven på önskad form, kan vi ta nästa steg och lösa denna ekvation med hjälp av pq-formeln.

pq-formeln ser ut så här:

$$x^{2}+px+q=0$$

$$x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{p}{2} \right )^{2}-q}$$


 Vi ska nu visa ett exempel på hur man kan tillämpa denna formel för att lösa en andragradsekvation

$$x^{2}+12x-13=0$$

Vi börjar med att identifiera p och q. Observera att q-värdet är negativt:

$$p=12$$

$$q=-13$$

$$x=-\frac{12}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{12}{2} \right )^{2}-(-13)}$$

$$x=-6\pm \sqrt{36+13}=-6\pm \sqrt{49}=$$

$$=-6\pm 7\Rightarrow x_{1}=1\: och\: x_{2}=-13$$

En andragradsekvation har ofta två lösningar, men kan också ha endast en lösning eller ingen lösning.


 Här är ett exempel på en andragradsekvation som har endast en lösning

$$x^{2}-8x+16=0$$

$$x=-\frac{(-8)}{2}\pm \sqrt{\left (\frac{(-8)}{2} \right )^{2}-16}$$

$$x=4\pm \sqrt{(-4)^{2}-16}=4\pm \sqrt{0}$$

$$x_{1}=x_{2}=4$$

Emellanåt kan man också ha att göra med en andragradsekvation som inte har någon reell lösning. Detta inträffar då rot-delen av pq-formeln utgörs av ett uttryck som är roten ur ett negativt tal.


Den här andragradsekvationen har inte någon reell lösning

$$x^{2}+10x+26=0$$

$$x=-\frac{10}{2} \pm\sqrt{\left (\frac{10}{2} \right )^{2}-26}$$

$$x=-5 \pm\sqrt{5^{2}-26}=-5\pm \sqrt{-1}$$

Eftersom vi inte kan räkna ut roten ur -1 saknar ekvationen reell lösning.


Videolektion

Här går vi igenom och härleder PQ-formeln.

Har du en fråga du vill ställa om Andragradsekvationer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se