Multiplikation av polynom

En ekvation är ett matematiskt uttryck som innehåller ett vänsterled (VL) och ett högerled (HL). Ekvation betyder "likhet" och beskriver att två matematiska uttryck på vardera sidan om ett likhetstecken är varandras motsvarigheter. Vänster led är samma sak som höger led, bara formulerat och beskrivet på ett annat sätt. I grundskolan räknade vi med ekvationer där de ingående komponenterna är tal.

$$VL=HL$$

$$6+4=10$$

I högstadiet lärde vi oss att räkna med ekvationer där vissa av de ingående komponenterna i uttryck är okända tal. Vi beskriver det okända talet tydligare genom att beteckna det med en bokstav, även kallad en variabel (till exempel x).

$$3x+8=14$$

I gymnasiet räknar vi med ekvationer där de ingående komponenterna är tal, variabler och funktioner. En variabel är ett okänt tal vars värde kan variera. Man kan alltså sätta in olika värden på variabeln och därmed få olika resultat.

I exempel nedan är x inte en variabel utan endast en okänd konstant. Det finns endast ett värde på x som passar in i uttrycket så att VL=HL:

$$3x+8=14$$

Om vi tittar på nästa exempel så är x en variabel, eftersom HL inte är definierat som ett konstant uttryck. Vilket värde HL bör ha beror på vilket värde variabeln x i VL har. Därför finns det oändligt många möjliga lösningar på ekvationen.

$$3x+8=y$$

Vi kan även se y i det föregående exemplet som en variabel. x och y är båda okända tal, som varierar beroende på varandras värden.

En ekvation som innehåller variabler kan alltid beskrivas som en funktion.

$$f(x)=3x+8$$

Vänsterledet i ovanstående uttryck, f(x), utläses "f som en funktion av x". Det man vill betona med ett funktionsuttryck av nyss nämnda slag, är att det är x som är den huvudsakliga variabeln. Det är x-värdet som vi har och kan ange, och som vi kan sätta in i uttrycket - och det är f(x), det vill säga motsvarigheten till y, som vi får ut som ett resultat av ett visst värde på x. Vi vill också betona att x inte är en okänd konstant utan att det verkligen är en variabel.

Innan vi går vidare med ekvationer och funktioner ska vi först repetera några viktiga regler som används för att förenkla ekvationer.

Distributiva lagen:

$$a(b+c)=ab+ac$$

Parentesmultiplikation:

$$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$$

Första kvadreringsregeln:

$$(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$$

Andra kvadreringsregeln:

$$(a-b)(a-b)=(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$$

Konjugatregeln:

$$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$$

Om du vill så kan du repetera polynommultiplikation, kvadreringsreglerna och konjugatregeln från Matte 2-kursen.

Vi ska nu räkna ett exempel där vi använder några av dessa regler för att förenkla uttrycket och lösa ekvationen. De regler vi använder oss av i det här exemplet är distributiva lagen, andra kvadreringsregeln och konjugatregeln.


Förenkla uttrycket och lös ekvationen

$$(2x-2)^{2}-(2x-1)^{2}-3(x-4)(x+4)+3x^{2}=3$$

$$(4x^{2}-2\cdot 2x\cdot 2+ 4)-(4x^{2}-2\cdot 2x\cdot 1+1^{2})$$

$$-3(x^{2}-16)+3x^{2}=3$$

$$ 4x^{2}-8x+4-4x^{2}+4x-1-3x^{2}+48+3x^{2}=3$$

$$51-4x=3$$

$$4x=48$$

$$x=\frac{48}{4}$$

$$x=12$$


Avslutningsvis räknar vi ett till exempel, där vi använder parentesmultiplikation

Utveckla följande uttryck:

$$(3x^{2}+2)\cdot(2x-1)$$

Uttrycket ovan utgörs av en produkt av två uttryck. Vi utvecklar uttrycket som helhet genom att multiplicera faktorerna med varandra med hjälp av reglerna för parentesmultiplikation:

$$(3x^{2}+2)\cdot(2x-1)=$$

$$=3x^{2}\cdot2x-3x^{2}\cdot1+2\cdot2x-2\cdot1=$$

$$= 6x^{3}-3x^{2}+4x-2$$

När man multiplicerar två polynom med varandra blir som vi ser också produkten ett polynom.

Videolektioner

Här går vi igenom multiplikation av polynom.

Här går vi igenom och härleder kvadreringsreglerna.

Här går vi igenom och härleder konjugatregeln.

En ekvationslösning med konjugatregel.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Multiplikation av polynom? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se