Polynomfunktioner

Ett polynom är ett matematiskt uttryck som består av variabler och konstanter som kombineras genom räknesätten addition, subtraktion och multiplikation. De variabeltermer som ingår i ett polynom får endast ha positiva heltalsexponenter. Vi har med andra ord räknat med polynom i olika former sedan en lång tid tillbaka, ända sedan vi först blev bekanta med begreppet i tidigare kurser. Polynomets grad bestäms av den högsta exponenten i polynomet, vilket vi kan se några exempel på i den här tabellen:

Benämning
Exempel
Nolltegradspolynom \(1\)
Förstagradspolynom \(2x+1\)
Andragradspolynom \(x^{2}+2x+1\)
Tredjegradspolynom \(4x^{3}+3x^{2}+2x+1\)
Fjärdegradspolynom \(5x^{4}+4x^{3}+3x^{2}+2x+1\)

Vi har också lärt oss metoder för att lösa de vanligt förekommande polynomekvationerna av lägre grad, t.ex. med hjälp av pq-formeln för andragradsekvationer. I det förra avsnittet lärde vi oss också om andragradsfunktioner (alltså polynomfunktioner av grad två); vi tittade även på hur dessa andragradsfunktioners grafer kan se ut och hur utseendet på en sådan graf förhåller sig till lösningarna på motsvarande andragradsekvation.

En förstagradsfunktion har alltid en graf som är en rät linje, medan en andragradsfunktions graf alltid är en parabel.


En av de förstagradsfunktioner som vi sett tidigare är

$$y(x)=2x+1$$

Denna funktions graf utgörs mycket riktigt av en rät linje:

Polynomfunktioner3


Ett annat tidigare bekant samband är denna andragradsfunktion, som vi träffade på i det förra kursavsnittet

$$y(x)=x^{2}-6x+5$$

Denna funktions graf ser ut så här:

Polynomfunktioner2

I det här avsnittet ska vi titta närmare på egenskaper hos polynomfunktioner också med högre gradtal än två.


Ett exempel på en tredjegradsfunktion är

$$ y(x)=x^{3}+3x^{2}+2x$$

Ett polynoms grad har stor betydelse för grafens utseende, vilket vi kan se om vi jämför graferna för funktionen av första graden och funktionen av andra graden. Här nedan ser du hur denna tredjegradsfunktions graf ser ut:

Polynomfunktioner1


En förstagradsfunktion, vars graf utgörs av en rät linje, har alltid exakt ett nollställe, vilket är där linjen skär x-axeln.

Som vi kom fram till i ett tidigare avsnitt kan andragradsfunktioner ha antingen två, ett eller inget nollställe, vilket motsvaras av antalet gånger som kurvan skär x-axeln.

En tredjegradsfunktion kan ha som mest tre nollställen, vilket är fallet för exempelfunktionen ovan - ur grafen kan vi se att kurvan skär x-axeln vid x1=-2, x2=-1 och x3=0.

En polynomfunktion av grad n har som högst n nollställen. En polynomekvation av grad n har på motsvarande sätt högst n rötter.

Beroende på hur ett polynomuttryck ser ut, kan man använda sig av antingen en grafisk metod för att hitta polynomfunktionens nollställen (vilket vi gjort i det här avsnittet) eller så kan man använda sig av en algebraisk metod där man letar efter polynomekvationens rötter. Ofta använder man sig av en kombination av lösningsmetoder.

Videolektion

Lösning av en tredjegradsfunktion grafiskt och algebraiskt.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Polynomfunktioner? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se