Rationella uttryck

När man har två polynom och dessa bildar en kvot, då kallas den uppställningen för ett rationellt uttryck.


Här kommer två exempel på rationella uttryck

$$\frac{6x+2}{3x}$$

$$\frac{5x^2+2x}{x+6} $$

I det första exemplet bildas en kvot mellan 6x+2 i täljaren och 3x i nämnaren; i det andra exemplet bildas en kvot mellan 5x2+2x i täljaren och x+6 i nämnaren.


Rationella uttryck har liknande egenskaper som bråk och på samma sätt som för ett bråk är det viktigt att nämnaren inte har värdet noll, eftersom division med noll inte är definierat. I ett vanligt bråk är det ofta lätt att se om nämnaren är noll. När man har ett polynom i nämnaren kan det vara så att nämnaren blir noll för vissa värden på en ingående variabel, men inte för andra värden på denna.


I det andra exemplet ovan får x inte anta värdet -6

$$\frac{5x^2+2x}{x+6} $$

$$x+6\neq 0\Rightarrow x\neq -6$$

På samma sätt kan man undersöka otillåtna variabelvärden i det första exemplet ovan.


Förkorta/förlänga rationella uttryck

Man kan förkorta eller förlänga rationella uttryck på samma sätt som man kan förkorta eller förlänga bråk, vilket vi lärde oss i Matte 1.

Vi har tidigare i den här kursen sett att man kan faktorisera polynom. En vanlig anledning till att man vill faktorisera ett polynom i ett rationellt uttryck är att man vill försöka förkorta uttrycket som helhet.

Ett exempel på detta är om man försöker förkorta det här rationella uttrycket

$$\frac{x^{2}+2x}{x}$$

Täljaren kan vi faktorisera på så sätt att vi bryter ut faktorn x, som ju är gemensam för de båda termerna i täljaren. Gör vi det så får vi det här rationella uttrycket:

$$\frac{x\cdot (x+2)}{x}$$

Utifrån uttrycket ovan ser man att x nu är en faktor i såväl täljaren som nämnaren och därför kan förkortas. Vi delar då både täljaren och nämnaren med den faktor som vi vill förkorta med (i det här fallet x) och kvar blir uttrycket

$$x+2$$

som motsvarar det rationella uttryck som vi började med, men skrivet i förenklad form.

När man har förkortat ett uttryck så långt att man inte kan förkorta det mer, då är uttrycket skrivet i sin enklaste form. I exemplet ovan kan man inte förkorta x+2 mer - därför är alltså uttrycket skrivet i sin enklaste form.

Ibland kan man vilja förlänga ett rationellt uttryck.

Då man förlänger ett rationellt uttryck gör man på ett liknande sätt som när man förkortar - men i omvänd ordning. Istället för att dividera både täljaren och nämnaren med en faktor så multiplicerar man täljaren och nämnaren med en faktor.

Ett exempel på en sådan situation är om man har ett uttryck som består av en summa av flera rationella uttryck. Då kan man vilja skriva dem på ett gemensamt bråkstreck och därför vilja att alla uttrycken har samma nämnare. Lite senare ska vi se ett exempel på just det.

Vi börjar med ett räkneexempel där vi har följande rationella uttryck:

$$\frac{x+1}{x}$$

Om vi vill förlänga det här uttrycket med en faktor x, då går det till så här:

$$\frac{x+1}{x}=$$

$$=\frac{x\cdot (x+1)}{x\cdot x}=$$

$$=\frac{x^{2}+x}{x^{2}}$$

Vi multiplicerar alltså både hela täljaren och hela nämnaren med x. Vårt uttryck har nu skrivits om så att det har nämnaren x2 istället för x.

Addera/subtrahera rationella uttryck

När man adderar och subtraherar rationella uttryck gäller samma regler som när man adderar och subtraherar bråk. Har de rationella uttrycken samma nämnare så kan man skriva dem på ett gemensamt bråkstreck, och addera eller subtrahera täljarna direkt.

Har de rationella uttrycken däremot olika nämnare så får vi först skriva om uttrycket, så att de har samma nämnare. Nyss såg vi att vi kan skriva om rationella uttryck genom att förkorta eller förlänga dem. Det är metoder som nu kommer till användning.

Vi tittar på ett räkneexempel där vi är i just den situationen. Vi har ett uttryck som ser ut så här:

$$\frac{x+1}{x}+\frac{x-2}{x^{2}}$$

Den första termen träffade vi på i det förra exemplet. De båda termerna i summan, två rationella uttryck, har olika nämnare. Därför kan vi inte direkt addera dessa uttryck - först får vi skriva om det ena uttrycket, så att de får samma nämnare.

Tidigare har vi sett att

$$\frac{x+1}{x}$$

kan förlängas med x, så att det kan skriva som

$$\frac{x^{2}+x}{x^{2}}$$

När vi nu har förlängt detta rationella uttryck, har båda termerna i den ursprungliga summan samma nämnare, x2. Då kan vi skriva dem på ett gemensamt bråkstreck och addera täljarna:

$$\frac{x^{2}+x}{x^{2}}+\frac{x-2}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+x+x-2}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+2x-2}{x^{2}}$$

Vi har nu fått ett enda rationellt uttryck (med nämnaren x2) istället för en summa av två rationella uttryck med olika nämnare (x respektive x2).

Hur skulle det bli om vi istället hade till uppgift att subtrahera de båda rationella uttrycken i exemplet ovan? Efter förlängningen av det första rationella uttrycket, hade det istället blivit så här:

$$\frac{x^{2}+x}{x^{2}}-\frac{x-2}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+x-(x-2)}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+x-x+2)}{x^{2}}$$

$$=\frac{x^{2}+2}{x^{2}}$$

Hur vet man då om man ska förkorta eller förlänga ett rationellt uttryck, och i så fall med vilken faktor? Jo, det beror på vad man försöker uppnå. I det förra exemplet ovan såg vi att det vore bra att ha samma nämnare, x2, i hela uttrycket eftersom vi ville addera uttrycken. Det kunde vi göra om det första rationella uttrycket förlängdes (multiplicerades) med en faktor x. I andra situationer kan det vara andra faktorer som är mer lämpliga att förlänga eller förkorta med.

Multiplicera/dividera rationella uttryck

Även vad gäller multiplikation och division av rationella uttryck så gäller samma räkneregler som för multiplikation och division av bråk.

När man ska multiplicera två rationella uttryck med varandra så multiplicerar man täljarna för sig och nämnarna för sig.

Ett exempel på multiplikation av rationella uttryck:

$$\frac{x+1}{3}\cdot \frac{x^{2}+2}{x-2}=$$

$$=\frac{(x+1)\cdot (x^{2}+2)}{3\cdot (x-2)}=$$

$$=\frac{x^{3}+2x+x^{2}+2}{3x-6}=$$

$$=\frac{x^{3}+x^{2}+2x+2}{3x-6}$$

När man ska dividera två rationella uttryck med varandra gör man också på samma sätt som när man dividerar två bråk med varandra.

Detta går till så att man multiplicerar täljaren med inversen av nämnaren. När vi i Matte 1-kursen räknade med division av bråk stötte vi på just följande formel, som också gäller för division av rationella uttryck:

$$\frac{\left ( \frac{a}{b} \right )}{\left ( \frac{c}{d} \right )}=\frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$

Låt oss titta på ett exempel på division av rationella uttryck, så att vi kan se hur det kan fungera:

$$\frac{\left ( \frac{3}{2x+2} \right )}{\left ( \frac{x}{x+1} \right )}=\frac{3\cdot (x+1)}{(2x+2)\cdot x}$$

I just det här fallet behöver vi inte sluta här, eftersom vi kan förenkla uttrycket ytterligare. Vi kan faktorisera den första faktorn i nämnaren ett steg till och sedan förkorta uttrycket:

$$\frac{3\cdot (x+1)}{(2x+2)\cdot x}=$$

$$=\frac{3\cdot (x+1)}{2\cdot (x+1)\cdot x}=$$

$$=\frac{3}{2x}$$

Videolektion

Förenkling av ett rationellt uttryck med många bråk.

Har du en fråga du vill ställa om Rationella uttryck? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se