Cosinussatsen

I de två föregående avsnitten har vi stött på två triangelsatser: areasatsen, som vi kan använda för att beräkna triangelns area, och sinussatsen, som beskriver sambandet mellan två sidor i triangeln och de mot dessa sidor stående vinklarna.

I det här avsnittet ska vi lära oss en tredje triangelsats, cosinussatsen, som beskriver sambandet mellan en triangels tre sidor och en av denna triangels vinklar.

Med hjälp av cosinussatsen kan vi alltså beräkna en vinkel om vi känner till alla tre sidornas längd, eller så kan vi beräkna en sidas längd om man känner till en vinkel och de två övriga sidornas längd.

Återigen använder vi samma triangel som i de tidigare två avsnitten:

Cosinussatsen 01

Cosinussatsen lyder:

$$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$$

Det finns två typiska situationer där man vill använda cosinussatsen: antingen känner vi till de tre sidornas längder och vill veta en okänd vinkel, eller också känner vi till två av sidornas längd och (minst) en vinkel och vill veta en sidas okända längd.

Beroende på vilket tal som är okänt får man skriva om satsen, så att man kan beräkna det okända talet.


Låt oss titta på tre exempel på hur vi kan använda cosinussatsen

Exempel 1

I en triangel är två av sidorna 4 cm och 10 cm. Deras mellanliggande vinkel är 50°. Beräkna längden på den sida i triangeln som är motstående 50°-vinkeln.

Vi börjar med att rita upp följande figur:

Cosinussatsen 02

Med hjälp av figuren ovan får vi enligt cosinussatsen:

$$a^2=4^2+10^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \cos 50^{\circ}$$

$$a=\sqrt{4^2+10^2-2\cdot 4\cdot 10\cdot \cos 50^{\circ}}\approx 8 \text{ cm}$$

Längden på den sida i triangeln som är motstående 50°-vinkeln är alltså 8 cm.


Exempel 2

I en triangel är alla sidornas längder kända: 5 cm, 9 cm och 12 cm. Ingen vinkel i triangeln är känd. Beräkna vinkeln som står mot sidan som är 12 cm.

Vi börjar med att rita upp följande figur:

Cosinussatsen 03

Med hjälp av figuren ovan får vi enligt cosinussatsen:

$$12^2=9^2+5^2-2\cdot 9\cdot 5\cdot \cos \alpha$$

$$2\cdot 9\cdot 5\cdot \cos \alpha=9^2+5^2-12^2$$

$$\cos \alpha=\frac{9^2+5^2-12^2}{2\cdot 9\cdot 5}$$

$$\alpha=\arccos{\left( \frac{9^2+5^2-12^2}{2\cdot 9\cdot 5}\right) }$$

$$\alpha= 115^{\circ}$$

Vinkeln som står mot sidan som är 12 cm är alltså 115°.


Exempel 3

I en triangel är två av sidorna 6 cm och 5 cm. Vinkeln som står mot sidan som är 5 cm är 40°. Beräkna längden på sidan som är okänd.

Vi börjar med att rita upp följande figurer:

Cosinussatsen 04

Som vi ser i figurerna kan längden av sidan som är okänd ha två olika längder.

Med hjälp av figurerna ovan får vi enligt cosinussatsen:

$$5^2=6^2+c^2-2\cdot 6\cdot c\cdot \cos 40^{\circ}$$

Vi börjar med att ta över alla termer till en sida:

$$0=c^2-2\cdot 6\cdot \cos 40^{\circ}\cdot c + 6^2-5^2$$

$$0=c^2-12\cdot \cos 40^{\circ}\cdot c + 11$$

För att lösa ut c använder vi PQ-formeln:

$$c= \frac{12\cdot \cos 40^{\circ}}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{12\cdot \cos 40^{\circ}}{2} \right)^2 -11 }$$

$$c= 6\cdot \cos 40^{\circ} \pm \sqrt{36 (\cos 40^{\circ})^2 -11 }$$

Vilket ger:

$$c_1\approx 7,8 \text{ cm}$$

$$c_2\approx 1,4 \text{ cm}$$

Längden på den okända sidan är ungefär 7,8 cm eller 1,4 cm.


Videolektioner

Här går vi igenom cosinussatsen.

Så besämmer vi vinklar och sidor i en triangel med hjälp av Cosinussatsen.

Har du en fråga du vill ställa om Cosinussatsen? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se