Sinussatsen

I det förra avsnittet stötte vi på areasatsen, som vi kan använda för att beräkna en triangels area om vi känner till längden på två av dess sidor och den mellanliggande vinkeln.

I det här avsnittet ska vi lära oss en annan triangelsats, i det här fallet en sats, sinussatsen, som beskriver förhållandet mellan triangels sidor och dess vinklar.

Vi använder oss av samma triangel som i det förra avsnittet:

Sinussatsen .jpg

Sinussatsen lyder:

$$\frac{\sin \alpha}{a}=\frac{\sin \beta }{b}=\frac{\sin \gamma }{c}$$

Något som man inte bör missa är att a är den sida som ligger "mittemot" vinkeln α i figuren; på samma sätt ligger sidan b "mittemot" vinkeln β, och sidan c ligger "mittemot" vinkeln γ.

Ett vanligt sätt att använda sinussatsen är om man till exempel känner till de två sidorna a och b, och en av vinklarna α eller β, då kan vi skriva om sinussatsen, så att just den okända vinkeln kan beräknas direkt:

Känner vi till sidorna a och b, och vinkeln α, och vill veta vinkeln β, så kan man beräkna β så här:

$$sin \: \beta = {\frac{b\cdot sin \: \alpha}{a}}$$

$$\beta = sin^{-1} \left ( {\frac{b\cdot sin \: \alpha}{a}} \right )$$

På liknande sätt kan man skriva om sambandet och lösa ut antingen en av triangelns sidor eller en av dess vinklar.


Låt oss ta ett konkret exempel på hur det kan bli

En triangel har en vinkel som är 50° med motstående sida som är 5 cm. En annan sida i samma triangel är 4 cm. Hur stor är vinkeln motstående till sidan som är 4 cm?

Om vi betecknar den kända vinkeln α (50°) och den okända vinkeln β, och sidorna a (5 cm) och b (4 cm), så gäller enligt sinussatsen följande samband:

$$\frac{sin \: 50^\circ}{5}=\frac{sin \: \beta}{4}$$

Skriver vi om denna trigonometriska ekvation, så kan vi skriva den så här:

$$\beta = sin^{-1} \left ( {\frac{4\cdot sin \: 50^\circ}{5}} \right )\approx 37,8^\circ$$


Videolektioner

Här går vi igenom sinussatsen.

Så anväder vi Sinussatsen för att bestämma vinklar och sidor i en triangel.

Har du en fråga du vill ställa om Sinussatsen? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se