Trigonometriska ekvationer

I det förra avsnittet bekantade vi oss med enhetscirkeln och märkte att vi kan beräkna koordinaterna för en punkt på cirkelns omkrets med hjälp av cosinus- och sinus-funktionerna om vinkeln är känd.

I det här avsnittet ska vi lära oss om några samband för sinus- och cosinus-funktionerna, som kan vara användbara när vi räknar.

Låt oss börja med ett exempel, där vi undersöker en trigonometrisk ekvation

Lös ekvationen sin v = 0,5 med hjälp av enhetscirkeln.

Som vi lärde oss i det förra avsnittet innebär lösning av sin v = 0,5 att vi ska hitta den vinkel v som gör att punktens y-värde blir 0,5.

Om vi tittar på figuren nedan och som vi såg i avsnittet med enhetscirkeln så framgår det att det finns två lösningar på problemet:

Den första lösningen får vi direkt genom att använda miniräknaren och arcsin:

$$v_1=\arcsin( 0,5) = 30^{\circ}$$

Dock ser vi som sagt i figuren att det finns en andra lösning. Vinkeln i denna lösning kan vi komma fram till om vi tänker oss att vi först går ett halvt varv (180°) och sedan backar med en vinkel som är lika stor som vinkeln i den första lösningen (30°).

Nästa lösning på problemet blir:

$$v_2=180^\circ - v_1=180^\circ - 30^\circ=150^\circ$$

Dessa vinklar (30° och 150°) är båda lösningar på problemet. Vi kollar på fler exempel på trigonometriska ekvationer.

Lös ekvationen

$$\cos(v) =  8/10$$

Likt exemplet innan kan vi få första lösningen genom att applicera arccos på båda sidor och använda miniräknaren och få ut

$$v\approx 36,87^{\circ}$$

Men det finns fler lösningar, vi tittar på bilden nedan som illustrerar detta.

Vi kan se att vinkeln \(u\) i bilden också kommer ha x-värdet 0,8 om vi följer den streckade linjen och vi ser att \(u\) har samma storlek som \(v\), men eftersom den går ner (eller medsols) från origo betecknar vi den som \(-v\). Den kan också skrivas som \(360^{\circ}-v\). Svaret på ekvationen blir alltså 36,87° och -36,87° (eller 360°-36,87°= 323,13°). 

$$v_1 = 36,87^{\circ} $$
$$v_2 = -36,87^{\circ}$$

Vi ta ett exempel när vi löser en ekvation för tangens, där kommer saker fungera lite annorlunda.

Lös ekvationen

$$\tan(v) = 3$$

Vi kan inte läsa av enhetscirkeln för värden på tangens, utan vi kan ta hjälp av ett samband som säger

$$\tan v =\frac{ \sin v}{ \cos v} $$

Detta kommer inte påverka vinkeln men utifrån detta så kommer vi se att tangens har två lösningar inom första varvet: \(\tan(v)\) och \(\tan(180^{\circ}+v)\)

Likt tidigare börjar vi med arctangens och slår in \(tan^{-1}(3)\) på miniräknaren och får första vinkeln

$$v_1= 71,57^{\circ}$$

och sedan den andra

$$v_2=180^{\circ}+71,57^{\circ} = 251,57^{\circ}$$

Det kan illustreras på enhetscirkeln. Vi kan också snabbt visa geometriskt att punkterna P = (cos(v); sin(v)) och Q = (cos(180+v); sin(180+v)) ligger på var sin ända på en diameter på enhetscirkeln.

Vi avslutar med ett exempel där vi behöver tänka till lite extra.

Lös ekvationen för första och fjärde kvadranten.

$$\cos(3v) = \frac{1}{2}$$

Vi applicerar arccos och får

$$3v= \pm 60^{\circ}$$

nu måste vi dela båda sidor med 3 för att få v ensamt.

$$v = \pm 20^{\circ}$$

Notera att dessa vinklar ligger i första och fjärde kvadranten, andra resultat som kan uppfylla ekvationen är inte relevanta. 

De metoder för att hitta lösningar som vi visade i exemplet ovan går att översätta till mer generella samband:

$$\sin v=\sin(180^\circ -v)$$

$$-\cos v=\cos(180^\circ -v)$$

$$-\sin v=\sin(360^\circ -v)$$

$$\cos v=\cos(360^\circ -v)$$

Andra samband som vi kan hitta geometriskt med hjälp av enhetscirkeln är:

$$\cos(180+v) = - \cos(v)$$

$$\sin(180+v) = - \sin(v) $$

$$ \tan(180+v) = \frac{\sin(180+v)}{\cos(1 80+v)} = \frac{-\sin(v)}{-\cos(v)} = \frac{\sin(v)}{\cos(v)} = \tan(v) $$

Vart och ett av dessa samband kan vi kontrollera att de stämmer, om vi tittar i enhetscirkeln för olika vinklar.

Sammanfattningsvis
Sinus har två lösningar: \(\sin (v)\) och \(\sin(180-v)\) 
Cosinus har två lösningar: \(\cos(v)\) och \(\cos(-v)\) 
Tangens har två lösningar: \(\tan(v)\) och \(\tan(180+v)\)

Andra sammanhang som vi använder är:

$$\sin v=\sin(180^\circ -v)$$

$$-\cos v=\cos(180^\circ -v)$$

$$-\sin v=\sin(360^\circ -v)$$

$$\cos v=\cos(360^\circ -v)$$

$$\cos(180+v) = - \cos(v)$$

$$\sin(180+v) = - \sin(v) $$

$$ \tan(180+v) = \frac{\sin(180+v)}{\cos(1 80+v)} = \frac{-\sin(v)}{-\cos(v)} = \frac{\sin(v)}{\cos(v)} = \tan(v) $$