Trigonometriska ekvationer

I det förra avsnittet bekantade vi oss med enhetscirkeln och märkte att vi kan beräkna koordinaterna för en punkt på cirkelns omkrets med hjälp av cosinus- och sinus-funktionerna om vinkeln är känd.

I det här avsnittet ska vi lära oss om några samband för sinus- och cosinus-funktionerna, som kan vara användbara när vi räknar.


Låt oss börja med ett exempel, där vi undersöker en trigonometrisk ekvation

Lös ekvationen sin v = 0,5 med hjälp av enhetscirkeln.

Som vi lärde oss i det förra avsnittet innebär lösning av sin v = 0,5 att vi ska hitta den vinkel v som gör att punktens y-värde blir 0,5.

Om vi tittar på figuren nedan och som vi såg i avsnittet med enhetscirkeln så framgår det att det finns två lösningar på problemet:

Den första preliminära lösningen får vi direkt genom att använda miniräknaren och arcsin:

$$v_1=\arcsin( 0,5) = 30^{\circ}$$

Dock ser vi som sagt i figuren att det finns en andra lösning. Vinkeln i denna lösning kan vi komma fram till om vi tänker oss att vi först går ett halvt varv (180°) och sedan backar med en vinkel som är lika stor som vinkeln i den första lösningen (30°).

Nästa preliminära lösningen på problemet blir:

$$v_2=180^\circ - v_1=180^\circ - 30^\circ=150^\circ$$

Dessa vinklar (30° och 150°) är båda lösningar på problemet. Men vi får inte glömma att vi får samma värde på sin v om vi utökar någon av vinklarna med ett helt varv (360°).För om vi går ett helt varv runt så är vi tillbaka på samma punkt och den har samma y-värde och därför samma sinusvärde.

Därför får vi följande fullständiga lösning på problemet:

$$v_1=30^\circ + n\cdot 360^\circ$$

$$v_2=150^\circ + n\cdot 360^\circ$$

där n är heltal så som -2, -1, 0, 1, 2, …

Vi kollar på fler exempel på trigonometriska ekvationer.

Lös ekvationen

$$\cos(v) =  8/10$$

Likt exemplet innan kan vi få första lösningen genom att applicera arccos på båda sidor och använda miniräknaren och få ut

$$v\approx 36,87^{\circ}$$

Men det finns fler lösningar, vi tittar på bilden nedan som illustrerar detta.

Vi kan se att vinkeln \(u\) i bilden också kommer ha x-värdet 0,8 om vi följer den streckade linjen och vi ser att \(u\) har samma storlek som \(v\), men eftersom den går ner (eller medsols) från origo betecknar vi den som \(-v\). Den kan också skrivas som \(360^{\circ}-v\). Svaret på ekvationen blir alltså 36,87° och -36,87° (eller 360°-36,87°= 323,13°). Men likt tidigare exemplet kommer även dessa värden upprepas om vi låter vinkeln gå ett helt varv igen. Så den fullständiga lösningen blir, där n motsvarar heltal,

$$v_1 = 36,87^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}$$
$$v_2 = -36,87^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}$$

Vi ta ett exempel när vi löser en ekvation för tangens, där kommer saker fungera lite annorlunda.

Lös ekvationen

$$\tan(v) = 3$$

Vi kan inte läsa av enhetscirkeln för värden på tangens, utan vi kan ta hjälp av ett samband som säger

$$\tan v =\frac{ \sin v}{ \cos v} $$

Detta kommer inte påverka vinkeln men utifrån detta så kommer vi bara få ett svar och det kommer upprepas varje halvt varv. Eftersom för varje halvt varv kommer cosinus vara 0 och då får vi inget definierat värde för tangens. Likt tidigare börjar vi med arctangens och slår in \(tan^{-1}(3)\) på miniräknaren och får första vinkeln

$$v= 71,57^{\circ}$$

alla lösningar får vi av att lägga på halva varv, för det är då värdet kommer upprepas.

$$v= 71,57^{\circ} + n\cdot 180^{\circ}$$

Där n fortfarande är heltal för att motsvara olika antal halva varv.

 

Vi avslutar med ett exempel där vi behöver tänka till lite extra.

Lös ekvationen

$$\cos(3v) = \frac{1}{2}$$

Vi applicerar arccos och får

$$3v= \pm 60^{\circ} + n\cdot 360^{\circ}$$

nu måste vi dela båda sidor med 3 för att få v ensamt, detta påverkar även perioden!

$$v = \pm 20^{\circ} + n\cdot 120^{\circ}$$

Svaret blir alltså positivt och negativt 20° grader som upprepas varje 120° grader (tredjedels varv).


När vi på så sätt kan hitta vinklar som är till exempel 390° (30° + 1·360°), då har vi för länge sedan lämnat trianglarnas värld (där ju vinkelsumman är 180°) och använder den utökade definitionen av de trigonometriska funktionerna. Denna utökade definition av de trigonometriska funktionerna har dock stor praktisk användning när man ska beskriva och analysera olika periodiska fenomen, till exempel hur den genomsnittliga temperaturen varierar under ett dygn.

De metoder för att hitta lösningar som vi visade i exemplet ovan går att översätta till mer generella samband:

$$\sin v=\sin(180^\circ -v)$$

$$-\cos v=\cos(180^\circ -v)$$

$$-\sin v=\sin(360^\circ -v)$$

$$\cos v=\cos(360^\circ -v)$$

Vart och ett av dessa samband kan man kontrollera att de stämmer, om man tittar i enhetscirkeln för olika vinklar.

Sammanfattningsvis
Sinus har två lösningar: \(\sin (v)\) och \(\sin(180-v)\) som upprepas för varje varv 360°
Cosinus har två lösningar: \(\cos(v)\) och \(\cos(-v)\) som upprepas för varje varv 360°
Tangens har en lösning som upprepas varje halvt varv 180°

Perioden påverkas om vi, efter vi applicerat arcsin, arccos eller arctan, måste dividera eller multiplicera bort en faktor för att v ska stå ensam kvar.

Andra sammanhang som vi använder är:

$$\sin v=\sin(180^\circ -v)$$

$$-\cos v=\cos(180^\circ -v)$$

$$-\sin v=\sin(360^\circ -v)$$

$$\cos v=\cos(360^\circ -v)$$

Videolektioner

Här går vi igenom två trigonometriska ekvationer.

Förklaring till varför många flera uppfyller samma trigonometriska villkor. 

Har du en fråga du vill ställa om Trigonometriska ekvationer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se
  • Sinus: sinus av en vinkel ger oss förhållandet mellan motstående katet och hypotenusan
  • Cosinus: cosinus av en vinkel ger oss förhållandet mellan närliggande katet och hypotenusan
  • Tangens: tangens av en vinkel ger oss förhållandet mellan motstående och närliggande katet.
  • Arcsin: om vi fått förhållandet mellan motstående katet och hypotenusan och  vill hitta vinkeln använder vi arcsin, som är inversen till sinus
  • Arccos: om vi fått förhållandet mellan närliggande katet och hypotenusan och  vill hitta vinkeln använder vi arccos, som är inversen till cosinus
  • Arctan: om vi fått förhållandet mellan motstående katet och närliggande katet och  vill hitta vinkeln använder vi arctan, som är inversen till tangens
  • Period: hur många grader tills vi gått helt varv eller något upprepas