Trigonometriska ekvationer

I det förra avsnittet bekantade vi oss med enhetscirkeln och märkte att vi kan beräkna koordinaterna för en punkt på cirkelns periferi med hjälp av cosinus- och sinus-funktionerna om vinkeln är känd.

I det här avsnittet ska vi lära oss om några samband för sinus- och cosinus-funktionerna, som kan vara användbara när vi räknar.


Låt oss börja med ett exempel, där vi undersöker en trigonometrisk ekvation

Lös ekvationen sin v = 0,5 med hjälp av enhetscirkeln.

Som vi lärde oss i det förra avsnittet innebär lösning av sin v = 0,5 att vi ska hitta den vinkel v som gör att punktens y-värde blir 0,5.

Om vi tittar på figuren nedan så framgår det att det finns två lösningar på problemet:

Bild3

Den första preliminära lösningen får vi direkt genom att använda miniräknaren:

$$v_1=sin^{-1} \: 0,5=30^\circ$$

Dock ser vi som sagt i figuren att det finns en andra lösning. Vinkeln i denna lösning kan man komma fram till om man tänker sig att man först går ett halvt varv (180°) och sedan backar med en vinkel som är lika stor som vinkeln i den första lösningen (30°).

Den andra preliminära lösningen på problemet blir:

$$v_2=180^\circ - v_1=180^\circ - 30^\circ=150^\circ$$

Dessa vinklar (30° och 150°) är båda lösningar på problemet. Men vi får inte glömma att vi får samma värde på sin v om vi utökar vinkeln v med ett helt varv (360°).

Därför får vi följande fullständiga lösning på problemet:

$$v_1=30^\circ + n\cdot 360^\circ$$

$$v_2=150^\circ + n\cdot 360^\circ$$

där n är heltal n=0, 1, 2, …


När vi på så sätt kan hitta vinklar som är till exempel 390° (30° + 1·360°), då har vi för länge sedan lämnat trianglarnas värld (där ju vinkelsumman är 180°) och använder den utökade definitionen av de trigonometriska funktionerna. Denna utökade definition av de trigonometriska funktionerna har dock stor praktisk användning när man ska beskriva och analysera olika periodiska fenomen, till exempel hur den genomsnittliga temperaturen varierar under ett dygn.

De metoder för att hitta lösningar som vi visade i exemplet ovan går att översätta till mer generella samband:

$$sin\:v=sin\:(180^\circ -v)$$

$$-cos\:v=cos\:(180^\circ -v)$$

$$-sin\:v=sin\:(360^\circ -v)$$

$$cos\:v=cos\:(360^\circ -v)$$

Vart och ett av dessa samband kan man kontrollera att de stämmer, om man tittar i enhetscirkeln för olika vinklar.

Videolektioner

Här går vi igenom två trigonometriska ekvationer.

Förklaring till varför många flera uppfyller samma trigonometriska villkor. 

Har du en fråga du vill ställa om Trigonometriska ekvationer? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se