Tillämpningar av integraler

I Matte 3-kursen lärde vi oss hur vi kan använda integraler för att beräkna arean mellan en kurva och x-axeln. I det förra avsnittet såg vi också att det finns ett antal användbara räkneregler för integraler.

I det här avsnittet ska vi titta närmare på hur man kan tillämpa beräkning av integraler på problem som förekommer inom olika områden. Specifikt ska vi titta närmare på kopplingen mellan en funktion och dess primitiva funktion och hur denna kan användas för att lösa problem.

På det naturvetenskapliga området är det vanligt att man använder integraler för att bestämma storheter. Det kan till exempel röra sig om att man vill beräkna sträckan när man har en funktion för hastigheten eller att man vill beräkna hastigheten när man har en funktion för accelerationen.

Vi ska titta på ett exempel, där ett fordon färdas med en känd hastighet, som är en funktion av tiden. Det vi vill ta reda på är hur lång sträcka fordonet har färdats mellan två tidpunkter (mellan 5 sekunder och 10 sekunder från det att tiden börjar mätas).

Hur kan vi ta reda på detta med hjälp av en integralberäkning?

Hur hastigheten varierar beskrivs i denna situation med funktionen

$$v(t)=5\cdot {e}^{0,1t}$$

i intervallet 0 ≤ t ≤ 10 sekunder, vilket vi kan se i följande koordinatsystem.

Ställer vi upp en integral

$$\int_{5}^{10}v(t)\,dt=\int_{5}^{10}(5\cdot {e}^{0,1t})\,dt$$

så innebär det att vi beräknar arean under kurvan i det intressanta intervallet.

Eftersom enheten för hastighet är meter per sekund och tidens enhet är sekunder, blir integralens enhet meter och anger sträckan fordonet färdats under tiden 5 s till 10 s med hastigheten v(t).

För att beräkna denna integral tar vi reda på den primitiva funktionen till v(t), vilken är V(t). Sedan Matte 3-kursen har vi en känd regel för hur vi kommer fram till den primitiva funktionen till en exponentialfunktion, nämligen att om

$$f(x)={e}^{kx}$$

så är den primitiva funktionen

$$F(x)=\frac{{e}^{kx}}{k}+C$$

Därför får vi

$$V(t)=\frac{5\cdot {e}^{0,1t}}{0,1}+C=50\cdot {e}^{0,1t}+C$$

Nu kan vi beräkna värdet av integralen:

$$s=\int_{5}^{10}(5\cdot {e}^{0,1t})\,dt=V(10)-V(5)=$$

$$=50\cdot {e}^{0,1\cdot 10}+C-(50\cdot {e}^{0,1\cdot 5}+C)=$$

$$=50\cdot {e}^{1}+C-50\cdot {e}^{0,5}-C=$$

$$=50\cdot e-50\cdot \sqrt{e}\approx53\,m $$

Sträckan som fordonet färdades mellan tidpunkterna t1 = 5 s och t2 = 10 s är alltså ungefär 53 m.

Videolektion

Exempel på tillämpning av integraler.

Har du en fråga du vill ställa om Tillämpningar av integraler? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se