Beräkna bråket

\[\frac{869}{630}\]

Vi kan börja med att beräkna täljaren. Då genomför vi först multiplikationen: \[\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{7} + \frac{2}{3} = \frac{1\cdot 3}{5\cdot 7} + \frac{2}{3} = \frac{3}{35} + \frac{2}{3}\]

Nästa steg blir att göra så att de båda termerna har samma nämnare. Då inget av bråken går att förkorta för att få fram en gemensam nämnare så måste vi förlänga dem. Förlänger vi dem med 3 respektive 35 kommer vi få en gemensam nämnare. Då kan vi sedan skriva dem med gemensamt bråkstreck och beräkna additionen: \[\frac{3}{35} + \frac{2}{3} = \frac{3\cdot 3}{35\cdot 3} + \frac{2\cdot 35}{3\cdot 35} = \frac{9}{105} + \frac{70}{105} = \frac{9+70}{105} = \frac{79}{105}\]

Då 79 inte slutar på ett jämnt tal och dess siffersumma 7+9=16 inte är delbart med 3 så kommer 79 inte vara delbart med vare sig 2, 3 eller 5. Faktum är att 79 är ett primtal så bråket är skrivet i sin enklaste form. Vi har nu beräknat täljaren och kan skriva om vårt uttryck:

\[\frac{ \frac{1}{5}\cdot \frac{3}{7} + \frac{2}{3} }{ \frac{6}{11} } = \frac{ \frac{79}{105} }{ \frac{6}{11} } \]

För att beräkna detta uttryck inverterar vi nämnaren och multiplicerar med täljaren:

\[\frac{ \frac{79}{105} }{ \frac{6}{11} } = \frac{79}{105} \cdot \frac{11}{6}\]

Vi kan nu räkna ut produkten av de två bråken och sedan förkorta. Men vi kan också undersöka om det går att förkorta redan nu. Eftersom båda täljarna är primtal måste någon faktor i nämnaren vara 11 eller 79 för att vi ska kunna förkorta. Vi faktoriserar de båda nämnarna och får \(105=3\cdot 35 = 3\cdot 7\cdot 5\) och \(6=2\cdot 3\). Då ingen av nämnarna innehåller faktorerna 11 eller 79 så kan vi inte förkorta något. Vi utför därför beräkningen:

\[\frac{79}{105} \cdot \frac{11}{6} = \frac{79\cdot 11}{105\cdot 6} = \frac{869}{630} \]

Då bråket inte kan förkortas och därför är i sin enklaste form så är svaret till uppgiften \(\frac{869}{630}\)

Svar: \(\frac{869}{630}\)