Antal bakterier efter n timmar
Antag att det finns en bakterie som varje timme ökar i antal 5 gånger sitt aktuella antal.
Hur många bakterier finns efter 4 timmar om det fanns 3 bakterier från början?
Hur många finns det efter n timmar?
Antal bakterier efter 4 timmar är \(3\cdot 5^4 = 1875\ \text{baktreier}\)
Antal bakterier efter n timmar är \(3\cdot 5^n\ \text{baktreier}\)
Vi börjar med 3 bakterier. Efter en timme har antalet femfaldigats till \(3 \cdot 5 = 15\) bakterier. Efter ytterligare en timme har antalet återigen femfaldigats till \(3 \cdot 5 \cdot 5 = 75\) bakterier, och så vidare. Efter 4 timmar har vi alltså \[3 \cdot 5 \cdot 5\cdot 5 \cdot 5 = 1875 \text{bakterier}\] Nu börjar vi se ett mönster:
\[\text{Efter en timme får vi}\ 3\cdot 5 = 3 \cdot 5^1\ \text{bakterier}\]
\[\text{Efter två timmar får vi}\ 3\cdot 5\cdot 5 = 3 \cdot 5^2\ \text{bakterier}\]
\[\text{Efter tre timmar får vi}\ 3\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 3 \cdot 5^3\ \text{bakterier}\]
\[\text{Efter fyra timmar får vi}\ 3\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 3 \cdot 5^4\ \text{bakterier}\]
\[\text{Efter \(n\) timmar får vi}\ 3\cdot 5\cdot5\cdot 5\cdot 5\cdot \dots \cdot 5= 3 \cdot 5^n\ \text{bakterier}\]
Svar:
Antal bakterier efter 4 timmar är \(3\cdot 5^4 = 1875\ \text{baktreier}\)
Antal bakterier efter n timmar är \(3\cdot 5^n\ \text{baktreier}\)
Prova gärna några värden på n för att se hur fort detta tal växer.