Faktorisera uttrycket

Det kan verka som att konjugatregeln inte går att använda, eftersom exponenten är 4 i stället för 2. Men spelar det någon roll? Vi behöver egentligen bara undersöka om uttrycket kan skrivas på formen \(a^2-b^2\).

Finns det alltså tal eller uttryck \(a\) och \(b\) sådana att \(a^2=16x^4\) och \(b^2=81\)?

Vi ser att \((4x^2)^2=4x^2\cdot4x^2=16x^4\) och \(9^2=9\cdot9=81\). Alltså kan vi välja \(a=4x^2\) och \(b=9\).

Om detta är svårt att se kan man i stället använda kvadratroten:

\(\sqrt{16x^4} = \sqrt{16} \sqrt{x^4} = 4x^2\) och \(\sqrt{81}=9\).

Med konjugatregeln får vi därför \[16x^4-81=(4x^2+9)(4x^2-9)\] Har vi nu faktoriserat uttrycket så långt som möjligt? Den första faktorn, \((4x^2+9)\), kan inte faktoriseras vidare med hjälp av konjugatregeln eller kvadreringsreglerna. Däremot är den andra faktorn, \((4x^2-9)\), återigen en differens av två kvadrater. Här är \(a=2x\) och \(b=3\), vilket ger \[4x^2-9=(2x+3)(2x-3)\] Det slutliga svaret blir därför \[16x^4-81=(4x^2+9)(2x+3)(2x-3)\]Uttrycket går inte att faktorisera ytterligare.

Svar: \((4x^2+9)(2x+3)(2x-3)\)