Lös ekvationen 1

Lös följande ekvation:

$$\frac{x-\frac{1}{14}}{3} + \frac{x}{7}=\frac{1}{14}$$

Lösning:

Det första vi vill göra är att få allt i vänsterledet under ett gemensamt bråkstreck. Detta fixar vi genom att förlänga den första termen med \(7\) och den andra termen med \(3\):

$$ \begin{equation} \begin{split} VL = \frac{x-\frac{1}{14}}{3} + \frac{x}{7} &=\\ &= \frac{7\cdot \Big(x-\frac{1}{14} \Big)}{7\cdot3} + \frac{3\cdot x}{3\cdot 7}&=\\\\ &=\frac{7x-\frac{7}{14}}{21} + \frac{3x}{21}=\\\\ &=\frac{7x-\frac{7}{14}+3x}{21} \end{split} \end{equation} $$

Vänsterledet går att förenkla ytterligare genom att summera alla termer som innehåller \(x\) samt förkorta bråket \(\frac{7}{14}=\frac{7\cdot 1}{7\cdot 2} = \frac{1}{2}\). Då kan vi skriva ekvationen på följande vis:

$$\frac{10x-\frac{1}{2}}{21} = \frac{1}{14}$$

Om vi sedan multiplicerar båda led med \(21\) blir vänsterledet lite mindre komplicerat:

$$21\cdot \frac{10x-\frac{1}{2}}{21} = 21\cdot \frac{1}{14}$$

$$10x - \frac{1}{2} = \frac{21}{14}$$

$$10x - \frac{1}{2} = \frac{7\cdot 3}{7\cdot 2}$$

$$10x - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$

Nästa steg blir att addera \(\frac{1}{2}\) till båda led:

$$10x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}+\frac{1}{2}$$

$$10x = \frac{4}{2}$$

$$10x = 2$$

Nu är det bara att dividera båda led med \(10\) så får vi fram lösningen till ekvationen:

$$\frac{10x}{10} = \frac{2}{10}$$

$$x = \frac{1}{5}$$