Addition och subtraktion av bråk

I avsnittet om tal i bråkform nämnde vi att ju färre delar något är uppdelat i, desto större del av det hela utgör varje sådan del. Att delar kan vara olika stora är något som kan ställa till problem när vi vill addera och subtrahera bråktal. I det här avsnittet ska vi därför gå igenom hur man adderar och subtraherar bråktal.

Som ett exempel på att delar kan vara olika stora undersöker vi bråktalen \(\frac{1}{3}\) och \(\frac{1}{4}\). En del av tårtan som har delats upp i tre delar är större än en del av samma tårta om tårtan istället hade delats upp i fyra delar. Alltså, i det här fallet är bråktalen inte lika mycket värda, det är nämligen nämnaren som avgör storleken på delen. När vi adderar eller subtraherar bråktal måste vi därför tänka på nämnaren på bråktalen.


Addera och subtrahera bråktal med gemensamma nämnare

Bråktal som har gemensamma nämnare, det vill säga att talen i nämnarna har samma värde, går att addera direkt eftersom bråktalen då är jämförbara. Vad vi gör i detta fall är att vi adderar täljarna i de bråktal vi vill addera och behåller deras gemensamma nämnare oförändrad.

Som ett exempel på detta har vi två bråktal nedan, med den gemensamma nämnaren 5. De kan adderas direkt på följande sätt:

$$\frac{1}{5}+\frac{2}{5}=\frac{1+2}{5}=\frac{3}{5}$$

På samma sätt går det att subtrahera bråktal som har gemensamma nämnare. I sådana fall subtraherar vi täljarna i de båda bråktalen och låter deras gemensamma nämnare vara oförändrad.

Ett exempel på subtraktion av bråktal med gemensamma nämnare ser vi nedan:

$$ \frac{3}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3-2}{5}=\frac{1}{5}$$


Addera och subtrahera bråktal med olika nämnare

Om bråktalen vi vill addera eller subtrahera har olika nämnare, kan vi inte utföra dessa beräkningar direkt. Vi måste först skriva om (minst ett av) bråktalen, så att de får gemensamma nämnare. Vad vi gör är att vi förlänger eller förkortar bråktalen, så att de får gemensamma nämnare. När det är gjort kan vi addera eller subtrahera bråktalen på samma sätt som vi såg i det förra delavsnittet ovan.

Låt oss anta att vi vill beräkna följande summa:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}$$

Vi ser direkt att de båda bråktalen ovan inte har gemensamma nämnare. Alltså måste vi skriva om uttrycket först, så att bråktalen får gemensamma nämnare.

Det enklaste sättet att hitta en gemensam nämnare för två bråktal, är att multiplicera de båda bråktalens nämnare med varandra. I det här fallet blir en sådan gemensam nämnare:

$$4\cdot3=12$$

Vi kan alltså skriva om båda bråktalen så att de har nämnaren 12, vilket för det första bråktalet inträffar om vi förlänger det med 3 och för det andra bråktalet om vi förlänger det med 4. Vi ska alltså multiplicera såväl täljaren som nämnaren i det första bråktalet med 3, och vi ska multiplicera såväl täljaren som nämnaren i det andra bråktalet med 4. Därefter kan vi addera de båda bråktalen, som i det läget har gemensamma nämnare (12).

Gör vi det, så får vi följande summa:

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{3}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}+\frac{1\cdot4}{3\cdot4}=\frac{3}{12}+\frac{4}{12}=\frac{7}{12}$$

För subtraktion gäller samma sak. Vi ser först till att bråktalen har gemensam nämnare och sen är det bara att beräkna differensen mellan täljarna.

Här är ett exempel på hur vi kan subtrahera bråktal med olika nämnare:

$$\frac{1}{7}-\frac{1}{5}$$

På samma sätt som vid addition av bråktal, får vi först skriva om bråktalen så att de har gemensam nämnare och sedan är det bara att subtrahera täljarna:

$$ \frac{1}{7}-\frac{1}{5}=\frac{1\cdot 5}{7\cdot 5}-\frac{1\cdot 7}{5\cdot 7}=\frac{5}{35}-\frac{7}{35}=-\frac{2}{35}$$

I det här fallet blev resultatet negativt, vilket inte var oväntat, eftersom en sjundedel är mindre än en femtedel - då blir också differensen negativ.


Bråktal skrivna i blandad form

Ibland när man lägger ihop två bråktal kan man få en summa som är större än 1. Här är ett exempel på hur det kan hända:

$$\frac{3}{4}+\frac{2}{4}=\frac{5}{4}=\frac{4}{4}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Detta resultat kan också skrivas som

$$1\frac{1}{4}$$

vilket kallas för ett bråktal skrivet i blandad form.

OM IHÅG! Vid addition eller subtraktion är det bara täljarna som ska adderas eller subtraheras. När nämnarna väl är gemensamma förändras de inte. Om en tårta är delad i 8 lika stora delar och du äter först en tårtbit och sedan en till har du ätit 1/8 + 1/8 = 2/8 av tårtan.

Videolektion

Här går vi igenom vad addition och subtraktion av bråk innebär och hur vi räknar.

 Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Addition och subtraktion av bråk? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!