Förlängning och förkortning

I det förra avsnittet repeterade vi vad tal i bråkform innebär. I det här avsnittet ska vi se vilka regler som finns för hur ett bråktal kan skrivas om, närmare bestämt metoderna förlängning och förkortning.

En vanlig anledning till att man vill kunna skriva om ett bråktal, är att man vill underlätta beräkning, vilket till exempel är fallet om man vill addera eller subtrahera två bråktal med olika nämnare. Man kan också vilja skriva om bråktalet därför att man genom ett annat sätt att skriva talet tydligare kan visa på ett visst förhållande mellan täljaren och nämnaren - vad som är lämpligt beror på vad det är som man försöker att uttrycka matematiskt och vad man vill göra med det matematiska uttrycket. En viktig sak att komma ihåg är att när ett bråktal förlängs eller förkortas ändras inte dess värde.


Förlängning

Om man har ett bråktal och vill ha ett större tal i täljaren eller nämnaren, då kan man förlänga bråket. Det gör man genom att multiplicera såväl täljaren som nämnaren med samma tal.

Så här kan det gå till om vi vill skriva om en fjärdedel, så att talet istället står skrivet i tolftedelar:

$$\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\cdot1=\frac{1}{4}\cdot \frac{3}{3}=\frac{1\cdot3}{4\cdot3}=\frac{3}{12}$$

Som du kanske kommer ihåg visade vi i det förra avsnittet att en fjärdedel kan skrivas just som tre tolftedelar, utifrån vårt exempel med tårtbitarna. Här visade vi hur vi kan komma fram till samma slutsats genom att använda oss av förlängning.

Så länge man gör samma sak i både täljaren och nämnaren så förändras inte kvoten. Vad vi gör är helt enkelt att vi skriver samma sak på olika sätt:

$$\frac{1}{4}=\frac{3}{12}=0,25$$


Förkortning

\(\frac{1}{4}\), \(\frac{3}{12}\) är alltså rationella tal med samma värde, 0.25, skrivet på två olika sätt. Om man istället vill ha ett lägre tal i täljaren eller nämnaren kan man istället förkorta bråket. Då dividerar man såväl täljaren som nämnaren med ett tal.

I det här exemplet vill vi skriva om tre tolftedelar i fjärdedelar:

$$\frac{3}{12}=\frac{\,\,\frac{3}{{\color{Blue} 3}}\,\,}{\frac{12}{{\color{Blue} 3}}}=\frac{1}{4}$$

Resultatet av förkortningen blev, som vi kanske väntade oss, precis det tal vi utgick ifrån när vi visade hur man förlänger, i avsnittsdelen ovan. Vad vi gjorde när vi förkortade bråktalet, var att vi gick "åt andra hållet" jämfört med när vi tidigare förlängde ett bråktal.

Man brukar dock inte förkorta hur som helst, utan vanligtvis vill man att såväl täljaren som nämnaren ska vara heltal även efter det att vi har förkortat bråktalet. När man inte kan förkorta längre, det vill säga när det inte finns något tal som man kan dela både täljaren och nämnaren med och få nya heltal, då säger man att talet är skrivet i sin enklaste form.


Förhållandet mellan tal

När man pratar om förhållandet mellan två tal, då menar man kvoten av dem. Exempelvis är förhållandet mellan 3 och 12:

$$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$$

När man skriver om förhållanden mellan tal, skriver man ofta till exempel 1:4 (utläses som "1 till 4"), istället för det vanliga bråket. Detta skrivsätt är vanligt förekommande på kartor, där man vill ange skalan, det vill säga, hur lång en sträcka som är avbildad på kartan är ute i verkligheten. I sådana fall kan man till exempel använda skalan 1:10 000, vilket i detta sammanhang innebär att 1 cm på kartan motsvarar 10 000 cm (100 m) i verkligheten.

Har du en fråga du vill ställa om Förlängning och förkortning? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!