Linjära funktioner

I Matte 1-kursen har vi använt oss av räta linjens ekvation för att beskriva vissa typer av samband. I det här avsnittet ska vi repetera grunderna för linjära funktioner och även bygga vidare på detta, något som vi kommer att ha användning för i nästa avsnitt, då vi lär oss att lösa linjära ekvationssystem.

En funktion är, som vi tidigare har sett, ett samband mellan två eller fler variabler, sådant att vi för ett visst värde på en oberoende variabel (eller flera oberoende variabler) alltid får ut ett visst värde på den beroende variabeln.

En linjär funktion är en funktion vars graf om vi skissar upp den i ett koordinatsystem bildar en rät linje och som kan beskrivas med hjälp av räta linjens ekvation:

$$y=kx+m$$

där x och y är variabler, och k och m är konstanter; k anger linjens lutning och m anger vid vilket y-värde som linjen skär y-axeln (det vill säga då x = 0).

Ett sätt att se på linjens lutning är att vi för varje steg som vi går mot större x-värden, så går vi k steg i y-led. Är k-värdet till exempel lika med 2, innebär en ökning av x-värdet med 1 att y-värdet ökar med 2. Är k-värdet istället -3, innebär det att en ökning av x-värdet med 1 resulterar i en minskning av y-värdet med 3 (eftersom k är lika med -3).


Vi tittar på ett exempel

Säg att vi har funktionen

$$y=2x+3$$

Ritar vi upp en del av denna funktions graf i ett koordinatsystem så ser den ut så här:

Linekv 01

Vi kan se i koordinatsystemet att linjen som bildas skär y-axeln vid y = 3, precis som m-värdet anger.

Lutningen k = 2 får vi genom att för varje steg vi förflyttar oss i x-led, går två steg i y-led för att hitta en punkt längs linjen:

Linekv 02


Linjens lutning

En benämning på det tal som anger lutningen, k, är riktningskoefficienten och den fås genom följande formel

$$k=\frac{f\ddot{o}r\ddot{a}ndring\: i\: y-led}{f\ddot{o}r\ddot{a}ndring\: i\: x-led}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$$

För att kunna räkna ut k-värdet (lutningen) för en linje så behöver vi veta koordinaterna för två olika punkter (x1, y1) och (x2, y2) som båda ligger längs linjen.

Två linjer är parallella om de har samma lutning, samma k-värde:

$$k_{1}=k_{2}$$

Funktion 04

De två linjerna som är markerade i figuren ovan är identiska så när som på att den undre linjen är förskjuten fem steg nedåt i y-led relativt den övre linjen - det är alltså m-värdet som skiljer dem åt (i det ena fallet är m = 0 och i det andra fallet är m = -5). Eftersom de båda linjerna har samma k-värde är linjerna parallella.

Två linjer är vinkelräta mot varandra om

$$k_{1}\cdot k_{2}=-1$$

Vinkelrät

De båda linjerna som är markerade i figuren ovan är vinkelräta mot varandra, eftersom vi kan skriva sambandet mellan dessa båda linjers k-värden med formeln

$$k_1\cdot k_2=-10\cdot \frac{1}{10}=-\frac{10}{10}=-1 $$

Bestämning av en rät linjes ekvation utifrån två punkter

Vi ska nu gå igenom ett exempel på hur man kan bestämma en rät linjes ekvation utifrån informationen att linjens går genom två kända punkter.

Den räta linje som vi är intresserade av går genom punkterna (1, 5) och (3, 4), och vi vill ta reda på dess ekvation på formen

$$y=kx+m$$

För att göra detta måste vi ta reda på vilka värdena på k respektive m är. När vi har gjort det har vi ett samband som beskriver samtliga punkter längs linjen.

Vi börjar med att ta reda på vad vi har för k-värde. Vi stoppar in våra koordinater i formeln för lutningen, som vi formulerade tidigare i det här avsnittet:

$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}=\frac{4-5}{3-1}=-\frac{1}{2}$$

Nu har vi kommit halvvägs, för vi vet vad linjen har för k-värde och vår ekvation ser just nu ut så här:

$$y=-\frac{1}{2}x+m$$

När vi har kommit så här långt finns det två olika sätt som vi kan använda oss av för att härifrån ta reda på m-värdet. Den ena metoden kallas k-form och den andra kallas för enpunktsform. Vi visar båda metoderna nedan, så att du kan välja den metod som du känner dig mest bekväm med att använda.

k-form

För att ta reda på m-värdet för en linjär funktion med hjälp av k-formen så behöver vi veta linjens lutning (k) och koordinaterna för en punkt någonstans längs linjen. Vi kan till exempel använda oss av den första punkten som vi fick i exemplet, (1, 5).

Det vi gör för att ta reda på m-värdet är helt enkelt att stoppa in de värden vi känner till i räta linjens ekvation och sedan lösa ut m:

$$y=kx+m$$

$$5=-\frac{1}{2}\cdot 1+m$$

$$5=-\frac{1}{2}+m$$

$$5+\frac{1}{2}\cdot 1=m$$

$$m=5,5$$

Och vi får då räta linjens ekvation till

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$$

En möjlig fördel med att använda k-formen är att vi bara behöver använda räta linjens ekvation och sedan sätta in de värden vi känner till och på så sätt lösa ut m.

Enpunktsform

Precis som när vi ville ta reda på m-värdet med hjälp av k-form så behöver vi veta linjens lutning (k) och koordinaterna till en punkt någonstans längs linjen för att ta reda på m-värdet med hjälp av enpunktsformen.

Enpunktsformen lyder så här

$$y-y_{1}=k(x-x_{1})$$

För att ta reda på m-värdet stoppar vi bara in de värden för y1, x1 och k som vi redan har och får då följande:

$$y-y_{1}=k(x-x_{1})$$

$$y-5=-\frac{1}{2}(x-1)$$

$$y-5=-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$$

$$y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}$$

En möjlig fördel med att använda enpunktsformen är att vi slipper att uttryckligen lösa ut m-värdet, så som vi gjorde då vi använde k-formen; enpunktsformen ger ju hela räta linjens ekvation där vi är klara, som vi såg ovan.

Videolektioner

Här går vi igenom räta linjer.

Här går vi igenom m-värdet för den räta linjens ekvation.

Här går vi igenom k-formen.

Här går vi igenom enpunktsformen.

Har du en fråga du vill ställa om Linjära funktioner? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!