Andraderivatan

I det förra avsnittet, där vi gick igenom hur man skissar grafer utifrån en funktions derivata, såg vi hur man kan avgöra om en punkt där funktionens derivata är noll är en extrempunkt (maximipunkt eller minimipunkt) eller en terrasspunkt. Vi gjorde detta genom att undersöka derivatans tecken i närliggande punkter.

Dock innebar denna metod en hel del räknearbete. Därför är det ju rimligt att undra om det inte finns något enklare sätt att komma fram till vilken typ av punkter det rör sig om, annat än att titta direkt på funktionens graf och försöka avgöra frågan därifrån (vilket inte alltid är en pålitlig metod).

Som tur är för oss finns det en metod som förenklar detta arbete en hel del.

Vi har tidigare lärt oss hur man kan komma fram till ett uttryck för en funktions derivata utifrån en given funktion. Detta gjorde vi genom att följa de deriveringsregler som gått att härleda från derivatans h-definition.

Att få fram en funktions derivata kan gå till på följande sätt, utifrån de kända deriveringsreglerna, som tillämpas på en exempelfunktion:

$$f(x)=x^{3}-3x^{2}$$

Derivatan för denna tredjegradsfunktion är känd:

$$\\f'(x)=3x^{2}-6x$$

Vi identifierar x-värdena för möjliga extrempunkter genom att sätta derivatan lika med noll och sedan lösa ekvationen som uppkommer:

$$0=3x^{2}-6x\Rightarrow x_{1}=0,\: x_{2}=2$$

Eftersom vi hittade två x-värden, finns det två möjliga extrempunkter att undersöka.

Har vi funnit två punkter som är maximi-, minimi- eller terrasspunkter? Vi kan även i fortsättningen använda oss av teckenstudium, men den här gången ska vi testa en bättre metod:

Om vi deriverar uttrycket för funktionens derivata ytterligare en gång, då kommer vi fram till ett nytt uttryck som vi kallas funktionens andraderivata (därför att vi deriverat funktionen två gånger - funktionens derivata, alltså när man bara har deriverat en gång, kallas även funktionens förstaderivata). Att derivera uttrycket för funktionens derivata följer samma deriveringsregler som vi tidigare använt:

$$\\f'(x)=3x^{2}-6x$$

$$\\f''(x)=6x-6$$

Uttrycket för funktionens andraderivata

$$f''(x)$$

uttalas "f bis x".

När vi nu har ett uttryck för denna funktions andraderivata kan vi sätta in våra tidigare funna x-värden i andraderivatan. Beroende på vilket värde vi får ut av andraderivatan för var och ett av dessa x-värden, kan vi dra olika slutsatser om huruvida punkterna är maximi-, minimi- eller terrasspunkter:

Är förstaderivatan lika med noll i en punkt, då är punkten en maximi-, minimi- eller terrasspunkt - vilken av dessa beror på värdet på andraderivatan enligt följande:

Maximipunkt

$$f''(x)<0$$

Om andraderivatan är negativ för det aktuella x-värdet är det ett maximivärde i punkten. Man säger att funktionen är konkav.

Minimipunkt

$$f''(x)>0$$

Om andraderivatan är positiv för det aktuella x-värdet är det ett minimivärde i punkten. Man säger att funktionen är konvex.

Terrasspunkt

Om funktionen har en terrasspunkt kommer:

$$f''(x)=0$$

Observera att andraderivatan kan vara lika med 0 i en extrempunkt utan att det är en terrasspunkt.


Vi tittar på följande exempel

$$f(x)=x^{4}$$

har ett extremvärde för x=0 vilket ger en andraderivata där:

$$f''(0)=0$$

Lägg märke till att extremvärdet för denna funktion inte är en terasspunkt, i det här fallet ger andraderivatan alltså inte tillräckligt med information om funktionens extremvärde. Slutsatsen vi kan dra av det här är att om man får andraderivatan till 0 för en extrempunkt, måste man göra en teckentabell för att avgöra om extrempunkten är ett lokalt maximi-, minimi- eller terrasspunkt.

Nu testar vi att sätta in de aktuella x-värdena i vår exempelfunktions andraderivata:

$$f''(0)=6\cdot 0-6=-6$$

$$f''(2)=6\cdot 2-6=6$$

Vi fick att andraderivatan blev -6 och 6, alltså kan vi säga att den första extrempunkten är ett lokalt maximivärde och den andra extrempunkten ett lokalt minimivärde.


Videolektioner

Här går vi igenom andraderivatan.

Här går vi igenom informationen andraderivatan ger oss.

Hjälpmedel

Här används grafräknaren Casio FX-CG20.
Se samma uppgift med grafräknaren Casio FX-9750GII.

Grafräknare av andra fabrikat har ungefär motsvarande funktionalitet.

Har du en fråga du vill ställa om Andraderivatan? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se