Skattning av talet e

Talet \(e\) är det enda tal för vilket följande samband gäller:

$$\\f(x)=e^{x}\\ f'(x)=e^{x}=f(x)$$

Det är just detta samband, att derivatan av funktionen är lika med funktionen själv som gör talet \(e\) så användbart.

Beräkna skattningar av talet \(e\) genom att använda derivatans definition:

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Gör en tabell med kolumnerna "\(h\)" och "Skattning av \(e\)", för \(h = 10^{-n}\), där \(n=1,2,3,4,5,\dots\) vilket get att \(h = 0,1; 0,01; 0,001;\dots\)

Hur många decimalers noggrannhet fås för \(h = 0.00001\)?

Lösningsförslag:

$$\begin{align}f'(x)= & \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \\ & \lim_{h \to 0}\frac{e^{x+h}-e^{x}}{h}= \\ & \lim_{h \to 0}\frac{e^{x}\cdot e^{h}-e^{x}}{h}= \\ & \lim_{h \to 0}\frac{e^{x}(e^{h}-1)}{h}=e^{x}\end{align}$$

Det innebär att för små värden på \(h\) gäller följande:

$$\begin{align} & \frac{(e^{h}-1)}{h} \approx 1\\ & e^{h}-1 \approx h\\ & e^{h} \approx 1+h\\ & e \approx (1+h)^{\frac{1}{h}}\end{align}$$

Vi har nu uttryckt \(e\) som en funktion av \(h\) (när \(h\) antar små värden) och kan få fram skattningar av \(e\) genom att sätta in olika små värden på \(h\). Det ger följande tabell:

Talet \(e = 2.71827\) avrundat till 5 decimaler.

Det innebär att skattningen av \(e\) för \(h = 0,00001\) är korrekt med 4 decimalers noggrannhet.

Svar: 4 decimalers noggrannhet.

Tack till Tomas Torstensson för uppgiften.