Deriveringsregler

Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans h-definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Dock kan det vara klumpigt att behöva återvända till derivatans h-definition varje gång man ska derivera (räkna ut gränsvärden för) en funktion.

Lyckligtvis finns det "snabbregler" som kan härledas utifrån derivatans h-definitionen och sedan användas för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner.

Vi ska nu härleda några av de enklaste och nyttigaste deriveringsreglerna. Det viktigaste är inte att kunna härleda dessa på egen hand, utan främst att kunna följa med i och förstå härledningen, och att sedan kunna använda de deriveringsregler som vi kommer fram till.

Förstagradsfunktioners derivata

Låt oss börja med en enkel linjär funktion och beräkna dess derivata:

$$f(x)=5x$$

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{5(x+h)-5x}{h}=\frac{5h}{h}=5$$

Här ser vi att derivatan är densamma för alla värden på x - derivatan är alltid 5 för denna funktion.

Om vi studerar uträkning ovan kan vi ana oss till att det finns ett generellt samband mellan den enkla linjära funktionens k-värde och derivatan (som du nog minns bestämmer k-värdet just en linje lutning och är lika för alla punkter längs linjen):

$$f(x)=ax$$

$$f{}'(x)=a$$

Andragradsfunktioners derivata

Vi beräknar nu derivata för en enkel andragradsfunktion:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^{2}+2xh+h^{2})-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+6xh+3h^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{6xh+3h^{2}}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(6x+3h)}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}(6x+3h)=6x $$

I det här exemplet fick vi alltså följande:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=6x$$

Sambandet mellan denna enkla andragradsfunktion och denna andragradsfunktions derivata är inte lika lätt att se som för den enkla förstagradsfunktionen, men så här ser det generella sambandet ut för fallet med enkla andragradsfunktioner:

$$f(x)=ax^{2}$$

$$f'(x)=2ax$$

Tredjegradsfunktioners derivata

På samma sätt som vi såg att vi kunde göra för enkla andragradsfunktioner, kan vi härleda enkla tredjegradsfunktioners derivata.

För en enkel exempelfunktion av tredje graden får vi följande derivata:

$$f(x)=2x^{3}$$

$$f'(x)=6x^{2}$$

Det allmänna sambandet för enkla tredjegradsfunktioner och deras derivata ser ut så här:

$$f(x)=ax^{3}$$

$$f'(x)=3ax^{2}$$

N-tegradsfunktioners derivata

Om man deriverar enkla polynomfunktioner av högre gradtal med hjälp av derivatans h-definition, visar det sig att deras derivata följer ett generellt mönster då de är av gradtal n (n ≠ 0):

$$f(x)=a\cdot x^{n}$$

$$f'(x)=an\cdot x^{n-1}$$

Nolltegradsfunktioners derivata

En nolltegradsfunktion är en funktion med en x0-term som den term som har högst gradtal. Ett exempel på en sådan funktion är följande:

$$f(x)=5 $$

För att se att det här verkligen är en nolltegradsfunktion kan man skriva om uttrycket så här:

$$f(x)=5=5\cdot 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left \{ x^{0}=1 \right \} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow 5\cdot 1=5\cdot x^{0}$$

Denna funktions graf är en horisontell linje (alltså en linje som är parallell med x-axeln). En sådan linje borde ha lutningen k=0, vilket också borde vara värdet på funktionens derivata.

Vi använder derivatans h-definition:

$$f(x)=5=5x^{0}$$

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{5(x+h)^{0}-5x^{0}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h}= $$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h}=\lim_{h \to 0}0=0$$

Denna nolltegradsfunktions derivata blev mycket riktigt lika med 0, som väntat. I själva verket kan man upprepa härledningen ovan för en godtycklig nolltegradsfunktion f(x) = a och komma fram till att derivatan blir lika med 0.

Det generella sambandet mellan en nolltegradsfunktion och dess derivata blir alltså:

$$f(x)=a$$

$$f'(x)=0$$

Derivata för polynomfunktioner med flera termer

Nu har vi undersökt derivatan för enkla polynomfunktioner av olika gradtal. Men vad händer om vi har en polynomfunktion som innehåller termer av olika gradtal? Ett exempel på en sådan polynomfunktion är följande:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

Att härleda detta funktionsuttrycks derivata går att göra på samma sätt som vi gjort tidigare för enklare funktioner, med hjälp av derivatans h-definition. Om vi har räknat rätt så kommer vi fram till följande samband mellan denna exempelfunktion och dess derivata:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

$$f'(x)=2x+3$$

Om vi jämför termerna i uttrycket för derivatan med funktionen i detta exempel, så ser vi att dessa motsvarar summan av derivatan av de ingående termerna i det ursprungliga funktionsuttrycket.

Generellt kan man säga att sambandet mellan en polynomfunktion som består av flera termer och denna funktions derivata följer denna regel:

$$f(x)=a(x)+b(x)$$

$$f'(x)=a'(x)+b'(x)$$

Alltså: derivatan för hela polynomfunktionen får man genom att summera derivatan för varje term i funktionen för sig.

Deriveringsreglerna

Vi sammanfattar resultatet ovan i en tabell:

\(f(x)\) \(f'(x)\)
C 0
\(x\) 1
\(x^2\) \(2x\)
\(x^3\) \(3x^2\)
\(x^4\) \(4x^3\)
\(\dots\) \(\dots\)
\(x^n\) \(n\cdot x^{n-1}\)

 Där C är en konstant.

Derivatan för några andra vanligt förekommande funktioner

Vi ska även derivera några andra vanliga funktioner, men utan härledning med hjälp av derivatans h-definition. Vi nöjer oss med att derivera utifrån reglerna vi nyss kommit fram till.

Enkelt fall med funktion där variabeln ligger i ett rotuttryck:

$$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=$$

$$=\frac{1}{2\cdot x^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\sqrt{x}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Enkelt fall med funktion där exponenten är negativ:

$$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$$

$$f{}'(x)=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$f{}'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$$

Videolektioner

Här går vi igenom hur en konstant deriveras.

Här går vi igenom hur polynomfunktioner deriveras.

Här går vi igenom hur ett polynom med flera termer deriveras.

Här går vi igenom hur potensfunktioner deriveras.

Genomgång av deriveringsregler.

Har du en fråga du vill ställa om Deriveringsregler? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se