Deriveringsregler

Tidigare lärde vi oss hur formeln för derivatans definition fungerar och hur vi med hjälp av den kan beräkna derivatan i en viss punkt för en given funktion. Dock kan det vara klumpigt att behöva återvända till derivatans definition varje gång man ska derivera (räkna ut gränsvärden för) en funktion.

Derivatan betecknas olika i olika litteratur. T ex \(f '(x)\) och \( \frac{d(f(x))}{dx}\) . Här använder vi \(f '(x)\). Beteckningen \( \frac{d(f(x))}{dx}\) kallas deriveringsoperator som påförs en funktion \(f(x)\). 

Det finns deriveringsregler som kan härledas utifrån derivatans definition och sedan används för att beräkna derivatan för ett antal vanligt återkommande funktioner. 

I tidigare avsnitt beräknade vi derivatan i en punkt. Nu skall vi beräkna derivatan för alla x i funktionens hela definitionsmängd. Då ersätter man punkten a med variabeln x. Derivatan blir då i sig en funktion i samma definitionsmängd. 

Men innan vi börjar kolla på deriveringsreglerna tar vi en repetition av funktionsbegreppet. Mer om funktionsbegreppet i Matte 1 och Matte 2. 

Funktionsbegreppet är centralt för derivatan. 

En funktion f är en regel/flera regler där en input omvandlas till output (se bild). T ex plast in i en maskin och ut kommer muggar. Volymkontroll ökas på en förstärkare, så ökas volymen. Varje inställt värde på volymkontrollen medför en viss effekt ut. 

Mer formellt är en funktion en regel som avbildar en definitionsmängd av x entydigt på en värdemängd f(x). 

På samma sätt är d/dx en regel som har f '(x) som output, osv. 

Vi ska nu härleda några av de enklaste och nyttigaste deriveringsreglerna. Det viktigaste är inte att kunna härleda dessa på egen hand, utan främst att kunna följa med i och förstå härledningen, och att sedan kunna använda de deriveringsregler som vi kommer fram till.

Förstagradsfunktioners derivata

Låt oss börja med en enkel linjär funktion och beräkna dess derivata:

$$f(x)=5x$$

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{5(x+h)-5x}{h}=\frac{5h}{h}=5$$

Här ser vi att derivatan är densamma för alla värden på x - derivatan är alltid 5 för denna funktion.

Om vi studerar uträkning ovan kan vi ana oss till att det finns ett generellt samband mellan den enkla linjära funktionens k-värde och derivatan (som du nog minns bestämmer k-värdet just en linje lutning och är lika för alla punkter längs linjen):

$$f(x)=ax$$

$$f{}'(x)=a$$

Nästa exempel är räta linjens ekvation: y = f(x) = kx+m
Använder vi derivatans definition 

$$f{}'(x)=\lim_{h \to 0 }\frac{k(x+h)+m-(kx+m)}{h}= \\ =\frac{kx+kh+m-kx-m}{h}=\frac{kh}{h}=k$$

Precis som i avsnittet innan ser vi att f '(x) = k, det vill säga derivata i punkten x  är lika med k-värdet, riktningskoefficienten.

Andragradsfunktioners derivata

Vi beräknar nu derivata för en enkel andragradsfunktion:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3(x^{2}+2xh+h^{2})-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{3x^{2}+6xh+3h^{2}-3x^{2}}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{6xh+3h^{2}}{h}= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{h(6x+3h)}{h}=$$

$$=\lim_{h\rightarrow 0}(6x+3h)=6x $$

I det här exemplet fick vi alltså följande:

$$f(x)=3x^{2}$$

$$f'(x)=6x$$

Sambandet mellan denna enkla andragradsfunktion och denna andragradsfunktions derivata är inte lika lätt att se som för den enkla förstagradsfunktionen, men så här ser det generella sambandet ut för fallet med enkla andragradsfunktioner:

$$f(x)=ax^{2}$$

$$f'(x)=2ax$$

Tredjegradsfunktioners derivata

På samma sätt som vi såg att vi kunde göra för enkla andragradsfunktioner, kan vi härleda enkla tredjegradsfunktioners derivata.

För en enkel exempelfunktion av tredje graden får vi följande derivata:

$$f(x)=2x^{3}$$

$$f'(x)=6x^{2}$$

Det allmänna sambandet för enkla tredjegradsfunktioner och deras derivata ser ut så här:

$$f(x)=ax^{3}$$

$$f'(x)=3ax^{2}$$

Innan vi tittar på hur polynomfunktionerna deriveras generellt tittar vi på "nolltegradsfunktionen" det vill säga x⁰ som motsvarar funktioner som besår av enbart en konstant term.

Nolltegradsfunktioners derivata

En nolltegradsfunktion är en funktion med en x⁰-term som den term som har högst gradtal. Ett exempel på en sådan funktion är följande:

$$f(x)=5 $$

För att se att det här verkligen är en nolltegradsfunktion kan man skriva om uttrycket så här:

$$f(x)=5=5\cdot 1 \Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left \{ x^{0}=1 \right \} \Rightarrow $$

$$\Rightarrow 5\cdot 1=5\cdot x^{0}$$

Denna funktions graf är en horisontell linje (alltså en linje som är parallell med x-axeln). En sådan linje borde ha lutningen k=0, vilket också borde vara värdet på funktionens derivata.

Vi använder derivatans definition:

$$f(x)=5=5x^{0}$$

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{5(x+h)^{0}-5x^{0}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h}= $$

$$=\lim_{h \to 0}\frac{0}{h}=\lim_{h \to 0}0=0$$

Denna nolltegradsfunktions derivata blev mycket riktigt lika med 0, som väntat. I själva verket kan man upprepa härledningen ovan för en godtycklig nolltegradsfunktion \(f(x) = a\) och komma fram till att derivatan blir lika med 0.

Det generella sambandet mellan en nolltegradsfunktion och dess derivata blir alltså:

$$f(x)=a$$

$$f'(x)=0$$

Viktigt att tänka på är att vi kan inte först sätta in punkten i funktionen och sen derivera enligt deriveringsreglerna. Som exempel, beräkna \(f '(2)\) för funktionen

$$f(x) = x^2 $$

om vi först sätter in x = 2 får vi \(f(2) = 4\) och då skulle \(f '(2) = 0\) enligt deriveringsreglerna. Därför måste vi först derivera med avseende på variabeln x och vi får istället

$$f'(x) = 2x$$

$$f'(2) = 4$$

Detta beror på att derivatan bara kan tas på en funktion \(f(x)\) om vi söker \(f'(x)\) i en godtycklig punkt. Se funktionsbegreppet tidigare. 

N-tegradsfunktioners derivata

Om man deriverar enkla polynomfunktioner av högre gradtal med hjälp av derivatans definition, visar det sig att deras derivata följer ett generellt mönster då de är av gradtal n (n ≠ 0):

$$f(x)=a\cdot x^{n}$$

$$f'(x)=an\cdot x^{n-1}$$

Derivata för polynomfunktioner med flera termer

Nu har vi undersökt derivatan för enkla polynomfunktioner av olika gradtal. Men vad händer om vi har en polynomfunktion som innehåller termer av olika gradtal? Ett exempel på en sådan polynomfunktion är följande:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

Att härleda detta funktionsuttrycks derivata går att göra på samma sätt som vi gjort tidigare för enklare funktioner, med hjälp av derivatans definition. Om vi har räknat rätt så kommer vi fram till följande samband mellan denna exempelfunktion och dess derivata:

$$f(x)=x^{2}+3x$$

$$f'(x)=2x+3$$

Om vi jämför termerna i uttrycket för derivatan med funktionen i detta exempel, så ser vi att dessa motsvarar summan av derivatan av de ingående termerna i det ursprungliga funktionsuttrycket.

Generellt kan man säga att sambandet mellan en polynomfunktion som består av flera termer och denna funktions derivata följer denna regel:

$$f(x)=a(x)+b(x)$$

$$f'(x)=a'(x)+b'(x)$$

Alltså: derivatan för hela polynomfunktionen får man genom att summera derivatan för varje term i funktionen för sig.

Deriveringsreglerna

Vi sammanfattar resultatet ovan i en tabell:

 Där k är en konstant.

Derivatan för några andra vanligt förekommande funktioner

Vi ska även derivera några andra vanliga funktioner, men utan härledning med hjälp av derivatans definition. Vi nöjer oss med att derivera utifrån reglerna vi nyss kommit fram till.

Vi börjar med när x är nämnare i en kvot. 
$$f(x)= \frac{1}{x}$$

Vi kan enligt potensreglerna skriva om den så här

$$f(x)= \frac{1}{x} = x^{-1}$$

Nu kan vi derivera denna funktion enligt reglerna för xⁿ

$$f'(x) = (-1)\cdot x^{-1-1}= -x^{-2} $$

Vi skriver nu tillbaka den som en kvot

$$f'(x) = -x^{-2} = \frac{-1}{x^2} $$

Nästa funktion är ett enkelt fall där variabeln ligger i ett rotuttryck:

$$f(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}-1}=\frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}=$$

$$=\frac{1}{2\cdot x^\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\sqrt{x}$$

$$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Enkelt fall med funktion där exponenten är negativ:

$$f(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$$

$$f{}'(x)=-1\cdot x^{-1-1}=-x^{-2}=-\frac{1}{x^{2}}$$

Deriveringsregel:

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$f{}'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$$

Sista exemplet är när vi undersöker hur det ser ut om vi har en konstant multiplicerat med en funktion.

$$f(x) = k \cdot g(x) $$

När vi deriverar detta får helt enkelt

$$f'(x)= k \cdot g'(x) $$

Vad innebär detta? Jo om vi vet att funktionen \(f(x)=\sqrt{x} \) har derivatan \(f'(x) = \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\) så gäller enligt regeln ovan att för funktionen 

$$f(x) = 3\sqrt{x}$$

har derivatan 

$$f'(x) = 3 \cdot \frac{1}{2\cdot \sqrt{x}}=\frac{3}{2\cdot \sqrt{x}}$$