Uppgift 15

Figuren visar ett gråmarkerat område som begränsas av grafen till funktionen \(g\), den räta linjen \(x = 3\) samt de positiva koordinataxlarna.

Funktionen \(g\) ges av \(g(x) = 5+ px− x^2\) där p är en konstant.

Bestäm p så att det gråmarkerade områdets area blir 24 areaenheter.

Lösningsförslag

Vi kan lösa detta med en ekvation med en integral, eftersom det beräknar området under grafen, som vi ställer upp så här:

$$\int_0^3 5 +px-x^2 = 24$$

Vi utvecklar vänsterledet med integralen genom att hitta primitiva funktionen,

$$\int_0^3 5 +px-x^2 = \left[5x+\frac{px^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^3=$$

$$= 5\cdot 3 + \frac{p\cdot 3^2}{2}-\frac{3^3}{3}-(0+0-0)=$$

$$15+\frac{p\cdot 9}{2}+9 = 6+4,5p$$

Nu stoppar vi tillbaka det som vänsterledet i ekvationen och löser den, 

$$6+4,5p = 24$$

$$4,5p = 18$$

$$p=\frac{18}{4,5}$$

$$p=4$$

Svar: \(p=4\)