Bestäm en sluten formel för talföljden

En sluten formel för geometrisk talföljd är
$$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$$
Vi vet att \(a_1+a_3=15\) och \(a_2+a_4=30\), det ger oss
$$a_1\cdot k^{0}+a_1\cdot k^{2}=15$$
$$a_1+a_1\cdot k^{2}=15$$
$$a_1(1+k^2)=15$$
$$a_1=\frac{15}{1+k^2}$$
och
$$a_1\cdot k^{1}+a_1\cdot k^{3}=30$$
$$a_1(k+k^3)=30$$
$$a_1=\frac{30}{k+k^3}$$
Vi substituerar \(a_1\) mot den andra ekvationen och får

$$\frac{15}{1+k^2} = \frac{30}{k+k^3}$$
$$\frac{15k}{k+k^3} = \frac{30}{k+k^3}$$
$$15k=30$$
$$k=2$$

Vi sätter in \(k=2\) i den första ekvationen och får ut \(a_1\)
$$a_1(1+2^2)=15$$
$$a_1\cdot 5 = 15$$
$$a_1=3$$

Svar: Slutna formeln är \(a_n=3\cdot 2^{n-1}\)