Deriverbarhet och absolutbelopp

I det här avsnittet ska vi gå igenom vad som gör att en funktion är deriverbar och vilka situationer som gör att funktionen inte är deriverbar i en viss punkt.

Att en funktion är deriverbar i en punkt kan vi med ord förklara att det endast går att rita upp en tangent i den punkten. Det krävs att funktionen är definierad och kontinuerlig i punkten. Däremot finns det funktioner som är definierade och kontinuerliga i en punkt, men som ändå inte är deriverbara i punkten.

Definierad i en punkt

Att en funktion är definierad i en punkt betyder att punktens x-värde ingår i funktionens definitionsmängd. För att göra det lite tydligare kollar vi på två funktioner och deras deriverbarhet.

Vi har funktionen \(f(x)=3x^2+5x\). Denna funktion är definierad för alla x-värden, vilket betyder att den är deriverbar för alla x. Anledningen till att vi vet detta beror på att vi kan stoppa in alla x-värden i funktionen och få fram ett y-värde, alltså alla x-värden ingår i funktionens definitionsmängd.

Deriverbarhet och absolutbelopp 01

Har vi funktionen \(f(x)=\frac{5}{3x}\), kan vi se att den inte är definierad i punkten x=0. Detta ser vi direkt eftersom funktionen är en kvot där nämnaren består av en multiplikation med ett x-värde. Om vi skulle ta x=0 får vi \(\frac{5}{3\cdot 0}\), vilket är odefinierat. Funktionen är därför inte deriverbar när x=0.

Deriverbarhet och absolutbelopp 02

Kontinuerlig funktion

Att en funktion är kontinuerlig betyder att funktionen är sammanhängande. Ett annat sätt att tänka är att om vi kan rita upp funktionens graf utan att lyfta på pennan, då är funktionen kontinuerlig. Om funktionen inte är sammanhängande, då kallas den diskontinuerlig. Vi ritar upp två funktioner, där den första funktionen är kontinuerlig och den andra funktionen är diskontinuerlig.

Deriverbarhet och absolutbelopp 03

Deriverbarhet och absolutbelopp 04

Absolutbelopp

Om vi har ett reellt tal kan det vara intressant att veta hur långt från origo detta tal ligger, oavsett om det är ett positivt eller negativt tal. Vi tittar på några exempel:

Tal Avstånd till origo (0)
7,3 7,3
-2,6 2,6
0 0
-13 13

Det finns en beteckning för just detta avstånd som ett reellt tal har till origo - vi kallar detta absolutbeloppet av talet.

För ett godtyckligt tal a, betecknar vi absolutbeloppet med |a|. För detta tal a är absolutbeloppet definierat på följande sätt:

$$\left | a \right |=a, om \: a\geq 0$$

$$\left | a \right |=-a, om \: a < 0 $$

Vad det här innebär i praktiken är att oavsett om talet a är positivt eller negativt, så är |a| positivt.

Definierad och kontinuerlig, men inte deriverbar i en punkt

Som vi läste i inledningen till detta avsnitt finns det funktioner som är definierade och kontinuerliga i en punkt, men som ändå inte är deriverbara i punkten. Detta sker när vi har en funktion som exempelvis innehåller absolutbelopp. Vi kollar på grafen till funktionen \(f(x)=|x-2|\):

Deriverbarhet och absolutbelopp 05

Som vi ser på bilden är funktionen spetsig vid punkten (2,0). I denna punkt är funktionen definierad och kontinuerlig, men inte deriverbar. Att den inte är deriverbar beror på att vi kan rita upp två tangenter i den punkten beroende på vilket håll vi närmar oss x-värdet 2. Närmar vi oss punkten (2,0) från vänstra sidan har vi en tangent med lutningen -1, men närmar vi oss punkten från högra sidan har vi en tangent med lutningen 1.

Videolektion

Räkna ut absolutbeloppet av ett tal.

Har du en fråga du vill ställa om Deriverbarhet och absolutbelopp? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se