Gränsvärde

I avsnittet om rationella funktioner kom vi fram till att funktioner har något som kallas definitionsmängd, som betyder vilka variabelvärden som är tillåtna för just den funktionen.

Om vi tittar på en funktion som

$$f(x)=\frac{1}{x^{2}}$$

så ser vi direkt att x inte får ha värdet noll, eftersom nämnaren (x2) då blir noll. Men vad händer med funktionens värde när vi befinner oss nära x=0? Ett bra sätt att undersöka det är genom att rita upp funktionens graf. Ett annat sätt är att skapa en tabell där vi testar vilka värden funktionen får, när vi väljer variabelvärden som ligger allt närmare det odefinierade värdet x=0

x f(x)
-1 1
-0,1 100
-0,01 10000
1 1
0,1 100
0,01 10000

När vi testar vad funktionsvärdet blir då variabelvärdet närmar sig 0, ser vi att funktionsvärdet blir allt större. Testar vi mindre och mindre värden på x (positiva eller negativa), så märker vi att det inte finns någon övre gräns för hur stora funktionsvärden man kan komma upp i. Man säger då att funktionsvärdet går mot oändligheten, ∞, eftersom funktionsvärdena blir oändligt stora (det finns ingen hejd på hur stora värdena kan bli).

Vad vi har undersökt här är funktionens gränsvärde för ett visst värde på variabeln x. Ett annat sätt att uttrycka vad vi just kom fram till är att f har gränsvärdet ∞, när x går mot 0.

Det kan också skrivas så här:

$$f(x) \to \infty \text{ när } x \to 0$$

Det här uttrycket utläser man som "funktionen f av x går mot oändligheten när x går mot 0".

Ett mer kompakt sätt att skriva samma sak är så här:

$$ \lim_{x \to 0}f(x)=\infty$$

Det här utläser man som "limes av f(x) när x går mot 0 är oändligheten".

Ovan valde vi att undersöka gränsvärdet för ett variabelvärde där funktionen \(f(x)\) är odefinierad (x=0), men vad händer om vi undersöker gränsvärdet för ett tillåtet variabelvärde, alltså ett värde som finns med i funktionens definitionsmängd?

Om vi använder samma funktion som ovan, vad blir gränsvärdet när vi väljer stora värden på x? Eller med andra ord: vad blir gränsvärdet för funktionen f då x går mot oändligheten?

Återigen hjälper det att ställa upp en värdetabell:

x f(x)
10 0,01
100 0,0001
1000 0,000001

Vi ser här att ju större värden på variabeln vi väljer, desto närmare 0 blir funktionsvärdet.

I det här fallet kan vi skriva upp gränsvärdet på det här sättet:

$$\lim_{x \to \infty}f(x)=0$$

Det här utläser vi som "limes av f(x) när x går mot oändligheten är 0".

I exemplet ovan testade vi oss fram till vad gränsvärdet borde vara, men man kan också finna gränsvärdet genom att skriva om funktionsuttryck.

Här är ett exempel:

$$f(x)=\frac{x^{2}+3x}{2x}$$

Denna funktion är i dess nuvarande form definierad för alla x förutom x=0 (nämnaren får ju inte vara lika med noll). Vilket gränsvärde har funktionen då x=0?

Tittar vi på täljaren i uttrycket kan vi se att vi kan faktorisera täljaren på så sätt att vi bryter ut en faktor x (vi ser också att vi har en faktor x i nämnaren). Vi gör den faktoriseringen och ser sen att vi kan förkorta uttrycket:

$$f(x)=\frac{x^{2}+3x}{2x}=\frac{x\cdot (x+3)}{2x}=\frac{x+3}{2}$$

Om vi tittar på det enklare funktionsuttrycket som vi lyckades få fram, då ser vi att nämnaren nu inte längre innehåller variabeln x. Därför kan vi konstatera att funktionen faktiskt är definierad för alla x ändå, när den står skriven i den här formen istället för i den ursprungliga formen!

Vi kan nu beräkna gränsvärdet exakt:

$$\lim_{x \to 0}f(x)=\lim_{x \to 0}\frac{x+3}{2}=\frac{0+3}{2}=\frac{3}{2}$$

Detta är alltså gränsvärdet då x går mot 0. Eftersom det visade sig att funktionen faktiskt var definierad för alla värden på x ändå, är det också det exakta funktionsvärdet vi får ut om vi sätter in variabelvärdet x=0 i det förenklade funktionsuttrycket.

Videolektioner

Här går vi igenom gränsvärden.

Hitta ett gränsvärde för en funktion som vid en första anblick inte ser defienerad ut. 

Har du en fråga du vill ställa om Gränsvärde? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se