Uppgift 10

Lös ekvationssystemen med algebraisk metod.

a) \(\begin{cases} y-2x=5 \\ 2y-x=4 \end{cases} \)

b) \(\begin{cases} (x+4)(y-2) = (x-5)(y+4) \\ 6y-x-6 = 2x-y-2 \end{cases} \)

Lösningsförslag

a) För att lösa ekvationssystemet använder vi oss av substitutionsmetoden.

$$\begin{cases} y-2x=5 \quad (1) \\ 2y-x=4 \quad (2) \end{cases}$$

Vi börjar med att lösa ut y från ekvation (1):

$$\begin{cases} y=5+2x \quad (1) \\ 2y-x=4 \quad (2) \end{cases}$$

Vi kan nu ersätta y-värdet i ekvation (2) med uttrycket \(5+2x\), vilket ger oss följande ekvation:

$$\begin{align} 2(5+2x)-x & =4\\ 10+4x-x & = 4 \\ 3x & = 4-10 \\ 3x & = -6 \\ x & = -2 \end{align}$$

Vi stoppar in x=-2 i ekvation (1):

\(y=5+2\cdot(-2)=1\)

Svar: x=-2 och y=1

b) För att lösa detta ekvationssystem börjar vi med att förenkla båda ekvationerna.

Ekvation 1:

$$\begin{align} (x+4)(y-2) & = (x-5)(y+4) \\ xy-2x+4y-8 & = xy+4x-5y-20 \\ -8+20 & = 4x-5y+2x-4y \\ 12 & = 6x-9y \end{align}$$

Ekvation 2:

$$\begin{align}6y-x-6 & = 2x-y-2 \\ 6y+y-x-2x & = -2+6 \\ 7y-3x & =4 \end{align}$$

Vi har nu ekvationssystemet:

$$\begin{cases} -9y+6x=12 \quad (1) \\ 7y-3x=4 \quad (2) \end{cases}$$

För att lösa detta ekvationssystem använder vi oss av additionsmetoden. Det första steget innan vi kan addera ekvationerna är att multiplicera ekvation (2) med 2:

\((7y-3x)\cdot 2=4\cdot 2 \implies 14y-6x=8\)

Addition av (1) och (2) ger:

\(-9y+6x+14y-6x=12+8 \implies 5y=20\)

Detta ger att y=4. Vi stoppar in det i ekvation (2):

\(7\cdot4-3x=4 \implies 3x=24\)

Detta ger att x=8.

Svar: x=8 och y=4.

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.