Uppgift 16
Triangeln ABC har hörnet A i origo, hörnet B på den positiva x-axeln och hörnet C i den första kvadranten. Hörnen B och C ligger på den räta linjen \(y= -1,5x +12\). Se figur.
Bestäm koordinaterna för punkten C om arean för triangeln ABC är 36 areaenheter.
Lösningsförslag
Area för en triangel är basen multiplicerat med höjden dividerat med \(2\).
$$A=\frac{b\cdot h}{2}$$
Vi börjar med att hitta basen till triangeln. Den kommer vara sträckan AB eller mer exakt \(x\)-koordinaten till B, som är där linjen korsar \(x\)-axeln. Vi hittar den genom att sätta \(y=0\).
$$0=-1,5x+12$$
$$1,5x=12$$
$$x=8$$
Alltså är basen i triangeln \(b=8\) längdenheter, vi sätter in det och givna arean i formeln för arean för att lösa ut höjden.
$$36=\frac{8\cdot h}{2}$$
$$8h=72$$
$$h=9$$
Alltså är höjden på triangeln \(h=9\) längdenheter. I koordinatsystemet motsvarar höjden \(y\)-koordinaten till punkten C. För att hitta \(x\)-koordinaten sätter vi in \(y=9\) i linjens ekvation eftersom C ligger på linjen.
$$9=-1,5x+12$$
$$-3=-1,5x$$
$$x=2$$
Svar: C\((2,9)\)
Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, höstterminen 2022" - Ladda ner provet här