Uppgift 24

En Galtonbräda är en anordning som används för att illustrera normalfördelning. Kulor släpps ner och ändrar riktning genom att passera ett antal spikar. Kulorna hamnar i olika fack och antalet kulor i facken blir ungefär normalfördelat kring mitten av brädan. Se figur.

Vid ett experiment släpptes 1478 kulor ner i en Galtonbräda med 16 fack. I fack 6 hamnade 136 kulor, i fack 7 hamnade 223 kulor och i fack 8 hamnade 281 kulor.

Hur många kulor bör ha hamnat i fack 5?

Lösningsförslag

För att lösa denna uppgift behöver vi förstå hur en normalfördelningskurva är uppbyggd. Vi kan avläsa från formelhäftet att 34,1% av alla kulor ska hamna inom avståndet en standardavvikelse från medelvärdet på både vänster- och högersidan.

I uppgiften har vi fått information om hur många kulor som har hamnat i fack 6, 7 och 8. Vi undersöker hur många fack som utgör avståndet en standardavvikelse från medelvärdet. Vi tittar först på fack 7 och 8 tillsammans.

Tillsammans har de 223+281=504 kulor. Vi räknar ut hur stor procent dessa kulor utgör:

$$\frac{504}{1478}\approx 0,341$$

Detta säger alltså att 34,1% av alla kulor finns i fack 7 och 8 tillsammans. Det betyder att två fack är ett lika stort steg som att ta en standardavvikelse från medelvärdet. Om vi återigen tittar på formelhäftet kan vi avläsa att om vi tar två standardavvikelser från medelvärdet till en standardavvikelse från medelvärdet ska antalet kulor utgöra 13,6%. I vårt fall betyder det att fack 5 och 6 tillsammans utgör 13,6% av alla kulor. Vi ställer upp följande ekvation, där \(x\) är antal kulor i fack fem, och räkna ut \(x\):

$$\begin{align} \frac{x+136}{1478}=& 0,136\\ x+136 =& 0,136 \cdot 1478 \\ x =& 0,136 \cdot 1478 - 136 \\ x \approx & 65 \end{align}$$

Fack fem bör alltså innehålla 65 stycken kulor.

Svar: 65 kulor.

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.