Uppgift 16

En cirkel med radien \(a\) tangerar de positiva koordinataxlarna. Den tangerar även en mindre cirkel som har mittpunkten i origo. Se figur.

U14 2A

Visa att den mindre cirkelns radie är \(a(\sqrt{2}-1)\) längdenheter.

Lösningsförslag

För att lös uppgiften ritar vi upp följande figur.

U14 2A bild 2

Där fyrkanten är en kvadrat med sidlängderna \(a\) och \(d\) är kvadratens diagonal. För att få fram den lilla cirkelns radie, som vi i denna lösning kallar \(r\), kommer vi att använda Pythagoras sats.

Kvadraten bildar två rätvinkliga trianglar, där sidorna är \(a\) och hypotenusan är \(d\). Den lilla cirkelns radie är \(r=d-a\), eftersom den stora cirkelns radie är \(a\).

För att lösa ut \(d\) använder vi Pythagoras sats som är:

$$a^2+b^2=c^2$$

där \(a\) och \(b\) är sidorna på en rätvinklig triangel och \(c\) är hypotenusan. I vårt fall är båda sidorna \(a\) och hypotenusan \(d\). Vi sätter in det i formeln:

$$\begin{align} a^2+a^2&=d^2 \\2a^2&=d^2 \\ \sqrt{2a^2} & = d \\ d & =a\sqrt{2} \end{align}$$

Eftersom vi i början på lösningen sa att \(r=d-a\) kan vi nu subtrahera \(a\) på båda sidorna för att få fram \(r\):

$$\begin{align} d & =a\sqrt{2} \\ d-a & = a\sqrt{2}-a \\ r &= a(\sqrt{2}-1)\end{align}$$

Svar: Vi har alltså nu visat att den lilla cirkelns radie, \(r\), är

$$r= a(\sqrt{2}-1) \text{ l.e.}$$

VSV

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2b, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 16? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se!