Uppgift 19

Beaufortskalan är en skala för vindhastighet skapad i början av 1800-talet av Sir Francis Beaufort. Varje steg på skalan anges med ett heltal, det så kallade Beauforttalet. I tabellen visas vindhastighet, vindens benämning samt vindens verkningar till sjöss för några Beauforttal.

U19 2A

Sambandet mellan vindhastighet \(v\) m/s och Beauforttalet \(B\) ges av formeln

\(v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}}\)

Stormen Hilde drabbade stora delar av Sverige den 16 november 2013. Högsta vindhastigheten uppmättes då till 29 m/s.

a) Vid beräkning av \(B\) avrundas värdet till heltal. Beräkna Beauforttalet \(B\) för vindhastigheten 29 m/s.

För extrema vindstyrkor finns det andra skalor. En sådan är TORRO-skalan som används för vindstyrkor upp mot 130 m/s. Sambandet mellan vindhastigheten \(v\) m/s och talet \(T\) enligt TORRO-skalan ges v formeln

\(v=0,8365\cdot\sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}}\) där \(T\) är avrundat till ett heltal.

b) Ange en formel för uttryck \(B\) uttryckt i \(T\). Förenkla så långs som möjligt.

Lösningsförslag

a) I uppgiftsformuleringen fick vi en formel mellan vindhastigheten och Beauforttalet: \(v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}}\). För att lösa uppgift a) sätter vi in vindhastigheten 29 m/s och löser ut \(B\):

$$\begin{align}29 & =0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}} \\ \frac{29}{0,8365} &= B^{\frac{3}{2}}\\ \left( \frac{29}{0,8365} \right)^{\frac{2}{3}} &=\left( B^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} \\ 10,63 & \approx B\end{align}$$

Eftersom talet \(B\) ska avrundas till ett heltal får vi att \(B=11\).

Svar: \(B=11\)

b) Vi har två formler, en som ger sambandet mellan vindhastigheten och Beauforttalet och en som ger sambandet mellan vindhastigheten och talet \(T\). För att ange en formeln för \(B\) uttryckt i \(T\), sätter vi dessa formler lika med varandra.

$$\begin{cases}v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}} \\ v=0,8365\cdot\sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}}\end{cases}$$

$$\begin{align} 0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}} & = 0,8365\cdot\sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}} \\ B^{\frac{3}{2}} & = \sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}} \\ \left( B^{\frac{3}{2}}\right)^2 & = \left( \sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}}\right)^2 \\ B^3 & = 8\cdot(T+4)^3 \\ \left(B^3\right)^{\frac{1}{3}} &= \left( 8\cdot(T+4)^3 \right)^{\frac{1}{3}} \\ B&= 8^{\frac{1}{3}} \cdot (T+4) \\ B &= 8^{\frac{1}{3}}\cdot T+4\cdot8^{\frac{1}{3}} \\ B &= 2T+8 \end{align}$$

Svar: \(B = 2T+8\)

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.

Har du en fråga du vill ställa om Uppgift 19? Ställ den på Pluggakuten.se
Har du hittat ett fel, eller har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla matteboken@mattecentrum.se