Uppgift 19

Beaufortskalan är en skala för vindhastighet skapad i början av 1800-talet av Sir Francis Beaufort. Varje steg på skalan anges med ett heltal, det så kallade Beauforttalet. I tabellen visas vindhastighet, vindens benämning samt vindens verkningar till sjöss för några Beauforttal.

Sambandet mellan vindhastighet \(v\) m/s och Beauforttalet \(B\) ges av formeln

\(v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}}\)

Stormen Hilde drabbade stora delar av Sverige den 16 november 2013. Högsta vindhastigheten uppmättes då till 29 m/s.

a) Vid beräkning av \(B\) avrundas värdet till heltal. Beräkna Beauforttalet \(B\) för vindhastigheten 29 m/s.

För extrema vindstyrkor finns det andra skalor. En sådan är TORRO-skalan som används för vindstyrkor upp mot 130 m/s. Sambandet mellan vindhastigheten \(v\) m/s och talet \(T\) enligt TORRO-skalan ges v formeln

\(v=0,8365\cdot\sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}}\) där \(T\) är avrundat till ett heltal.

b) Ange en formel för uttryck \(B\) uttryckt i \(T\). Förenkla så långs som möjligt.

Lösningsförslag

a) I uppgiftsformuleringen fick vi en formel mellan vindhastigheten och Beauforttalet: \(v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}}\). För att lösa uppgift a) sätter vi in vindhastigheten 29 m/s och löser ut \(B\):

$$\begin{align}29 & =0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}} \\ \frac{29}{0,8365} &= B^{\frac{3}{2}}\\ \left( \frac{29}{0,8365} \right)^{\frac{2}{3}} &=\left( B^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}} \\ 10,63 & \approx B\end{align}$$

Eftersom talet \(B\) ska avrundas till ett heltal får vi att \(B=11\).

Svar: \(B=11\)

b) Vi har två formler, en som ger sambandet mellan vindhastigheten och Beauforttalet och en som ger sambandet mellan vindhastigheten och talet \(T\). För att ange en formeln för \(B\) uttryckt i \(T\), sätter vi dessa formler lika med varandra.

$$\begin{cases}v=0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}} \\ v=0,8365\cdot\sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}}\end{cases}$$

$$\begin{align} 0,8365\cdot B^{\frac{3}{2}} & = 0,8365\cdot\sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}} \\ B^{\frac{3}{2}} & = \sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}} \\ \left( B^{\frac{3}{2}}\right)^2 & = \left( \sqrt{8}\cdot(T+4)^{\frac{3}{2}}\right)^2 \\ B^3 & = 8\cdot(T+4)^3 \\ \left(B^3\right)^{\frac{1}{3}} &= \left( 8\cdot(T+4)^3 \right)^{\frac{1}{3}} \\ B&= 8^{\frac{1}{3}} \cdot (T+4) \\ B &= 8^{\frac{1}{3}}\cdot T+4\cdot8^{\frac{1}{3}} \\ B &= 2T+8 \end{align}$$

Svar: \(B = 2T+8\)

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.