Tiologaritmer

Detta avsnitt ingår i matematik 2b och matematik 2c.

I det förra avsnittet tog vi oss en titt på hur exponentialfunktioner fungerar och hur vi kan lösa exponentialekvationer grafiskt. I det här avsnittet ska vi undersöka hur vi kan lösa exponentialekvationer algebraiskt, genom att vi använder oss av logaritmer.

Vi börjar vårt resonemang med att skissa grafen till följande exponentialfunktion

$$f(x) = 10^{x}$$

I koordinatsystemet ovan har vi också markerat den punkt på kurvan där f(x) = 7. Genom att läsa av på x-axeln så ser vi att om f(x) = 7 så är x ≈ 0,85 och alltså är

$$10^{0,85} \approx 7$$

Vi kan ta vilket positivt värde som helst på y-axeln och läsa av vad motsvarande x-värde är på kurvan. Vi kan med andra ord skriva om vilket tal som helst som en potens med basen 10, det vill säga i tiopotensform. Till exempel

Den exponenten som 10 måste upphöjas med för att få det positiva funktionsvärdet (y-värdet i grafen) kallas för talet tiologaritm. Det betyder att tiologaritmen för 9 är ungefär 0,95, vilket vi kan läsa av i vår tabell ovan.

Om vi har en exponentialekvation, till exempel

$$11 = 10^{x}$$

som vi vill lösa, så kan vi göra det grafiskt, det vill säga genom att ha en \(10^{x}\)-kurva uppritad och sedan läsa av vad x-värdet är vid f(x) = 11 (precis som vi gjorde här ovanför och tidigare i avsnittet om exponentialfunktioner)

Ett annat alternativ är att använda vår miniräknare. Många räknare har en färdig programfunktion för att lösa den här typen av uppgifter och motsvarar det resultat vi skulle ha fått om vi ritat upp funktionen och gjort en avläsning grafiskt. Denna funktion på miniräknare brukar betecknas "log" eller "lg" (i det följande kommer vi konsekvent att skriva "lg", men det går lika bra att skriva "log").

Lösningen till ekvationen

$$11 = 10^{x}$$

får vi då till

$$x = \lg \:11 \approx 1,04$$

Tiologaritmens definition

Definitionen av tiologaritmen lyder som följer här nedan:

$$f(x) = 10^{x} \Leftrightarrow x = \lg(y)\: \: \: \: \:(y > 0)$$

Alla positiva tal kan på det här viset skrivas om på basen 10, eftersom

$$x = 10^{\lg(x)}$$

Allmänt gäller alltså för ett positivt tal a:

$$a = 10^{\lg(a)}$$

Till exempel kan vi skriva

$$5 = 10^{\lg(5)}$$

Att kunna använda sig av tiologaritmens definition och möjligheten att skriva om positiva tal på basen 10 är mycket användbart då vi ska lösa exponentialekvationer algebraiskt.

Lösning av exponentialekvation med hjälp av tiologaritmer

Vi återgår nu till det exempel på en exponentialekvation som vi löste grafiskt i avsnittet om exponentialfunktioner och försöker att lösa det med hjälp av tiologaritmer.

I detta exempel hade vi satt in 50 000 kronor på ett bankkonto med en årlig ränta på 2 % och vi undrade hur lång tid det skulle ta att spara ihop till 60 000 kronor på kontot

Vi fick då exponentialekvationen

$$50000\: \cdot 1,02^{x }= 60000$$

Att lösa denna ekvation innebär att vi hittar ett värde på x, som alltså betecknar hur många år vi behöver låta pengarna sitta orörda på kontot för att de ska ha förräntats till 60 000 kr.

Precis som vid annan ekvationslösning så vill vi försöka få x att stå ensamt på ena sidan av likhetstecknet. Vi börjar därför med att se till så att vi bara har potensen kvar i det vänstra ledet, genom att dividera hela ekvationen med 50000:

$$\frac{50000\:\cdot 1,02^{x}}{50000} = \frac{60000}{50000} $$

$$1,02^{x} = 1,2$$

Det vi nu gör är att vi skriver om leden i vår exponentialekvation med hjälp av definitionen av tiologaritmen, så att vi får uttryck skrivna med basen 10. Vi skriver först om 1,02 och 1,2 så att de står skrivna med basen 10:

$$1,02 = 10^{\lg(1,02)} $$

$$1,2 = 10^{\lg(1,2)}$$

Vi skriver nu om vår exponentialekvation, så att vi använder talen skrivna med basen 10 enligt ovan:

$$(10^{\lg(1,02)})^{x} = 10^{\lg(1,2)}$$

Med hjälp av en av potenslagarna kan vi skriva om det vänstra ledet (som ju är en potens, där basen är en potens och exponenten är x), så att ekvationen blir

$$10^{x\cdot \lg(1,02)} = 10^{\lg(1,2)}$$

Eftersom de båda leden i vår ekvation ska vara lika och är skrivna med samma bas, så måste deras exponenter vara lika stora.

Med andra ord får vi:

$$x \cdot \lg(1,02) = \lg (1,2)$$

Härifrån kan vi lösa ut x och med hjälp av vår miniräknares tiologaritmfunktion räkna ut vad x är:

$$\frac{x\cdot \lg(1,02)}{{\color{Blue} {\lg(1,02)}}}=\frac{\lg(1,2)}{{\color{Blue} {\lg(1,02)}}}$$

$$x=\frac{\lg(1,2)}{\lg(1,02)}\approx 9,2$$

Saldot på vårt bankkonto kommer alltså att ligga på 60 000 kr efter ungefär 9,2 år.

Vi kan se att vi genom en algebraisk lösning av exponentialekvationen med hjälp av tiologaritmen kunde få fram samma svar som det vi fick fram med en grafisk lösning. Med denna algebraiska lösningsmetod kunde vi emellertid teckna lösningen exakt, som en kvot mellan två tiologaritmer.