Uppgift 18

Julia har fått i uppgift att sätta ut en logisk symbol mellan ekvationerna \(x=2\) och \(x^2=4\) så att hon får ett sant påstående. Hon väljer felaktigt att sätta en ekvivalenspil mellan ekvationerna.

Vilken logisk symbol borde Julia använda istället? Motivera ditt svar.

Lösningsförslag

Vi ställer upp den felaktiga uppställningen och undersöker när implikationen stämmer:

$$x=2 {\color{red}\iff} x^2=4$$

Vi börjar kika om pilen från vänster till höger stämmer, alltså implikationspilen \(\implies\) som ger uttrycket: \(x=2 \implies x^2=4\).

$$\begin{align}x &=2\\ x^2& =2^2\\ x^2 & = 4 \end{align}$$

Detta säger oss att en implikation från vänster till höger stämmer.

Vi kikar på pilen från höger till vänster stämmer, alltås implikationspilen \(\impliedby\) som ger uttrycket \(x=2 \impliedby x^2=4\):

$$\begin{align}x^2 &=4\\ x &=\pm\sqrt{4}\\ x& = \pm 2 \end{align}$$

Detta säger oss att denna implikation inte gäller då lösningen på \(x^2=4\) ger att \(x=2\) inte är den enda lösningen, utan att \(x=-2\) också är en lösning.

Vi har alltså kommit fram till att en implikationspil från vänster till höger är den rätta logiska symbolen att sätta mellan uttrycken.

Svar: \(\implies\) är den rätta logiska symbolen.

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2a, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.