Uppgift 14

En andragradsekvation \(x^2+(a+4)x+(b+5)=0\) har lösningarna \(x_1=1\) och \(x_2=-3\).

Bestäm värdet på \(a\) och \(b\).

Lösningsförslag

För att bestämma värdet på \(a\) och \(b\) ställer vi upp ett ekvationssystem. Detta gör vi genom att sätta in lösningarna till andragradsekvationen, vilket ger oss två nya ekvationer:

$$\begin{cases} 1^2+(a+4)\cdot 1 +(b+5) =0 \\ (-3)^2+(a+4)\cdot (-3)+(b+5)=0 \end{cases}$$

Förenkling av båda ekvationerna ger:

$$\begin{cases} 10+a+b=0 \\ 2-3a+b=0 \end{cases}$$

För att lösa detta ekvationssystem använder vi oss av substitutionsmetoden. Vi löser ut \(a\) ur den första ekvationen och stoppar in uttrycket för \(a\) i den andra ekvationen:

$$a=-10-b$$

Insättning i den andra ekvationen ger:

$$\begin{align} 2-3(-10-b)+b & =0 \\ 2+30+3b+b &=0 \\ 32+4b &=0 \\ 4b &= -32\\ b&=-8 \end{align}$$

Nu har vi löst ut att \(b=-8\), isättning i den första ekvationen ger:

$$a=-10-(-8)=-2$$

Svar: \(a=-2\) och \(b=-8\)

Uppgiften är hämtad ur "Kursprov Matematik 2c, vårterminen 2015" - Ladda ner provet här.