Andragradsekvationer
1. Lös ekvationen.
x2 = 16
2. Lös ekvationen.
3x2 + 6x = 0
3. Beräkna följande andragradsekvation först genom pq-formeln och sen med kvadratkomplettering.
x2-4x-5=0
Lösningsförslag:
1. x2 = 16
√x2 = √16
x1 = 4 och x2 = -4
Andledningen till att ekvationen har två rötter är att (-4)2 = 16 och 42 = 16
2. 3x2 + 6x = 0
Den enklaste beräkningen av en ekvation som den här är att bryta ut ett x och en konstant om möjligt. Vi bryter ut 3x och får
3x(x + 2) = 0
Vi tittar nu på vilka värden på x som ger svaret 0. Den första roten är noll, eftersom noll multiplicerat med allt annat kommer att bli noll: 3*0(0 + 2) = 0
Den andra roten är -2, för då kommer det som står innanför parentesen att bli noll; 3*-2(-2 + 2) = 0
Rötterna är alltså: x1 = 0 och x2 = -2
3.
pq-fomeln:
$$\\ x^{2}-4x-5=0\\\\ x=-(\frac{-4}{2})\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^{2}-(-5)}\\\\ x=2\pm \sqrt{9}\\ x=2\pm 3\\ x_{1}=2-3=-1\\ x_{2}=2+3=5$$
Kvadratkomplettering:
$$\\x^{2}-4x-5=0\\ x^{2}-4x+4=5+4\\ (x-2)^{2}=9\\ \sqrt{(x-2)^{2}}=\sqrt{9}\\ x-2=\pm 3\\ x=2\pm 3$$
x1 = -1
x2 = 5
I ord om vad vi gör med kvadratkompletteringen:
Poängen med kvadratkomplettering är att vi vill få uttrycket på formen av kvadreringsregeln som är lika med en "rest-term" som vi sedan drar roten ur.
Flytta över termen som saknar x till högerledet i vårt fall 5.
Ta siffran som är multiplicerad med x'et, dvs p som i vårt fall är 4. Dela 4 med två och kvadrera (höj upp till två); (4/2)2 = 4. Lägg till 4 på båda sidor av likhetstecknet.
Dra roten ur på båda sidor i ekvationen och beräkna ut de två rötterna på ekvationen.