Andragradsekvationer

1. Lös ekvationen.

x2 = 16

2. Lös ekvationen.

3x2 + 6x = 0

3. Beräkna följande andragradsekvation först genom pq-formeln och sen med kvadratkomplettering.

x2-4x-5=0

 

Lösningsförslag:

1. x2 = 16

√x2 = √16

x1 = 4 och x2 = -4

Andledningen till att ekvationen har två rötter är att (-4)2 = 16 och 42 = 16

2. 3x2 + 6x = 0

Den enklaste beräkningen av en ekvation som den här är att bryta ut ett x och en konstant om möjligt. Vi bryter ut 3x och får

3x(x + 2) = 0

Vi tittar nu på vilka värden på x som ger svaret 0. Den första roten är noll, eftersom noll multiplicerat med allt annat kommer att bli noll: 3*0(0 + 2) = 0

Den andra roten är -2, för då kommer det som står innanför parentesen att bli noll; 3*-2(-2 + 2) = 0

Rötterna är alltså: x1 = 0 och x2 = -2

3.

pq-fomeln:

$$\\ x^{2}-4x-5=0\\\\ x=-(\frac{-4}{2})\pm \sqrt{(\frac{-4}{2})^{2}-(-5)}\\\\ x=2\pm \sqrt{9}\\ x=2\pm 3\\ x_{1}=2-3=-1\\ x_{2}=2+3=5$$

Kvadratkomplettering:

$$\\x^{2}-4x-5=0\\ x^{2}-4x+4=5+4\\ (x-2)^{2}=9\\ \sqrt{(x-2)^{2}}=\sqrt{9}\\ x-2=\pm 3\\ x=2\pm 3$$

x1 = -1

x2 = 5

I ord om vad vi gör med kvadratkompletteringen:

Poängen med kvadratkomplettering är att vi vill få uttrycket på formen av kvadreringsregeln som är lika med en "rest-term" som vi sedan drar roten ur.

Flytta över termen som saknar x till högerledet i vårt fall 5.

Ta siffran som är multiplicerad med x'et, dvs p som i vårt fall är 4. Dela 4 med två och kvadrera (höj upp till två); (4/2)2 = 4. Lägg till 4 på båda sidor av likhetstecknet.

Dra roten ur på båda sidor i ekvationen och beräkna ut de två rötterna på ekvationen.

Har du en fråga du vill ställa om Andragradsekvationer? Ställ den på Pluggakuten.se!
Har du kommentarer till materialet på den här sidan? Mejla feedback@matteboken.se!